Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 37

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 37

Известны измерения прямоугольного параллелепипеда:

x=24{,}7\text{ м}\pm0{,}2\text{ м},\quady=6{,}5\text{ м}\pm0{,}1\text{ м},\quadz=1{,}2\text{ м}\pm0{,}1\text{ м}.

В каких границах заключается объём

V

этого параллелепипеда? С какими абсолютной и относительной погрешностями может быть определён объём этого параллелепипеда, если за его измерения принять средние значения?

Решение

Объём возрастает по каждому размеру. Абсолютную и относительную ошибки оценим отдельно.

Имеем

24{,}5\le x\le24{,}9,\qquad6{,}4\le y\le6.6,\qquad1{,}1\le z\le1.3.

Следовательно,

V_{\min}=24{,}5\cdot6.4\cdot1.1=172{,}48,

V_{\max}=24{,}9\cdot6.6\cdot1.3=213{,}642.

Значит,

172{,}48\le V\le213{,}642\quad(\text{м}^3).

По средним размерам

V_0=24{,}7\cdot6.5\cdot1.2=192{,}66\text{ м}^3.

Абсолютные отклонения:

192{,}66-172{,}48=20{,}18,\qquad213{,}642-192{,}66=20{,}982.

Поэтому

\Delta V\le20{,}982\text{ м}^3.

Для относительной ошибки сравниваем

\frac{20{,}18}{172{,}48}\approx0.1169991,\qquad\frac{20{,}982}{213{,}642}\approx0.0982110.

Наибольшее значение равно примерно

0{,}1170

.

Максимальная абсолютная и максимальная относительная погрешности могут достигаться на разных концах интервала. Поэтому обе величины вычисляются отдельно, а не делением одной общей

\Delta V

на

V_0

172{,}48\le V\le213{,}642\quad(\text{м}^3),

V_0=192{,}66\text{ м}^3,\qquad\Delta V\le20{,}982\text{ м}^3,\qquad\delta_V\le11{,}70\%.