Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 37

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 37

Известны измерения прямоугольного параллелепипеда:x=24,7 м±0,2 м,y=6,5 м±0,1 м,z=1,2 м±0,1 м.x=24{,}7\text{ м}\pm0{,}2\text{ м},\quad
y=6{,}5\text{ м}\pm0{,}1\text{ м},\quad
z=1{,}2\text{ м}\pm0{,}1\text{ м}.В каких границах заключается объём VV этого параллелепипеда? С какими абсолютной и относительной погрешностями может быть определён объём этого параллелепипеда, если за его измерения принять средние значения?

Решение

Идея

Все три измерения положительны, и объём V=xyzV=xyz возрастает при увеличении каждого из них. Поэтому нижняя граница объёма получается из трёх нижних концов интервалов, а верхняя — из трёх верхних. Затем отдельно сравним объём по средним размерам с обоими концами: максимум абсолютных отклонений и максимум относительных отклонений могут достигаться с разных сторон.
  1. 1
    Имеем5≤x≤24.9,4≤y≤6.6,1≤z≤1.3.5\le x\le24.9,
    \qquad

    4\le y\le6.6,
    \qquad

    1\le z\le1.3.    Следовательно,Vmin⁡=24.5⋅6.4⋅1.1=172.48,V_{\min}=24.5\cdot6.4\cdot1.1=172.48,Vmax⁡=24.9⋅6.6⋅1.3=213.642.V_{\max}=24.9\cdot6.6\cdot1.3=213.642.Значит,48≤V≤213.642(м3).48\le V\le213.642\quad(\text{м}^3).По средним размерамV0=24.7⋅6.5⋅1.2=192.66 м3.V_0=24.7\cdot6.5\cdot1.2=192.66\text{ м}^3.Абсолютные отклонения:66−172.48=20.18,642−192.66=20.982.66-172.48=20.18,
    \qquad

    642-192.66=20.982.    ПоэтомуΔV≤20.982 м3.\Delta V\le20.982\text{ м}^3.
  2. 2
    Для относительной ошибки сравниваем20.18172.48≈0.1169991,20.982213.642≈0.0982110.\frac{20.18}{172.48}\approx0.1169991,
    \qquad
    \frac{20.982}{213.642}\approx0.0982110.    Наибольшее значение равно примерно 0.11700.1170.

    Максимальная абсолютная и максимальная относительная погрешности могут достигаться на разных концах интервала. Поэтому обе величины вычисляются отдельно, а не делением одной общей ΔV\Delta V на V0V_0.

Проверка

172.48≤V≤213.642(м3),172.48\le V\le213.642\quad(\text{м}^3),V0=192.66 м3,ΔV≤20.982 м3,δV≤11.70%.V_0=192.66\text{ м}^3,
\qquad
\Delta V\le20.982\text{ м}^3,
\qquad
\delta_V\le11.70\%.
Демидович № 37 — решение