Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 21

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 21

Доказать неравенства:а) ∣x−y∣≥∣∣x∣−∣y∣∣;\text{а) }|x-y|\ge \bigl||x|-|y|\bigr|;б) ∣x+x1+⋯+xn∣≥∣x∣−(∣x1∣+⋯+∣xn∣).\text{б) }|x+x_1+\cdots+x_n|\ge |x|-\bigl(|x_1|+\cdots+|x_n|\bigr).

Доказательство

Идея

В обоих пунктах нужно сравнить модуль целой суммы с модулями её частей. Обычное неравенство треугольника даёт для этого верхнюю оценку; если перенести одно слагаемое в другую сторону, из неё получится нужная нижняя оценка.
а) Так возникает более сильное соотношение∣∣x∣−∣y∣∣≤∣x−y∣,\bigl||x|-|y|\bigr|\le|x-y|,которое называют обратным неравенством треугольника.
б) Соберём x1+⋯+xnx_1+\cdots+x_n в одно слагаемое и повторим ту же идею.
  1. 1
    Пункт а). Представим xx в видеx=(x−y)+y.x=(x-y)+y.По неравенству треугольника∣x∣≤∣x−y∣+∣y∣,|x|\le|x-y|+|y|,откуда∣x∣−∣y∣≤∣x−y∣.|x|-|y|\le|x-y|.Если поменять xx и yy местами, получим∣y∣−∣x∣≤∣x−y∣.|y|-|x|\le|x-y|.Следовательно,∣∣x∣−∣y∣∣≤∣x−y∣.\bigl||x|-|y|\bigr|\le|x-y|.После перестановки частей это и есть требуемое неравенство пункта а).

    Пункт б). Запишемx=(x+x1+⋯+xn)−(x1+⋯+xn).x=(x+x_1+\cdots+x_n)-(x_1+\cdots+x_n).Тогда∣x∣≤∣x+x1+⋯+xn∣+∣x1+⋯+xn∣.|x|\le|x+x_1+\cdots+x_n|+|x_1+\cdots+x_n|.Кроме того,∣x1+⋯+xn∣≤∣x1∣+⋯+∣xn∣.|x_1+\cdots+x_n|\le|x_1|+\cdots+|x_n|.Поэтому∣x∣≤∣x+x1+⋯+xn∣+∣x1∣+⋯+∣xn∣,|x|\le|x+x_1+\cdots+x_n|+|x_1|+\cdots+|x_n|,что после переноса суммы модулей даёт требуемую оценку.
  2. 2
    Если правая часть неравенства в пункте б) окажется отрицательной, отдельного случая не возникает: левая часть неотрицательна и потому всё равно не меньше неё. Именно применение неравенства треугольника позволило обойти перебор знаков всех слагаемых.

Проверка

Оба неравенства доказаны; в частности,∣∣x∣−∣y∣∣≤∣x−y∣.\bigl||x|-|y|\bigr|\le|x-y|.

Что и требовалось доказать