Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 21

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 21

Доказать неравенства:а) ∣x−y∣≥∣∣x∣−∣y∣∣;\text{а) }|x-y|\ge \bigl||x|-|y|\bigr|;б) ∣x+x1+⋯+xn∣≥∣x∣−(∣x1∣+⋯+∣xn∣).\text{б) }|x+x_1+\cdots+x_n|\ge |x|-\bigl(|x_1|+\cdots+|x_n|\bigr).

Доказательство

а)

Из равенства x=(x−y)+yx=(x-y)+y и неравенства треугольника следует∣x∣−∣y∣≤∣x−y∣.|x|-|y|\le|x-y|.Если поменять xx и yy местами, получится ∣y∣−∣x∣≤∣x−y∣|y|-|x|\le|x-y|. Обе оценки вместе означают ∣∣x∣−∣y∣∣≤∣x−y∣\bigl||x|-|y|\bigr|\le|x-y|.

б)

Положим s=x1+⋯+xns=x_1+\cdots+x_n. Применяя ту же оценку к x+sx+s и ss, а затем обычное неравенство треугольника к ss, получаем∣x+s∣≥∣x∣−∣s∣≥∣x∣−∑k=1n∣xk∣.|x+s|\ge |x|-|s|\ge |x|-\sum_{k=1}^{n}|x_k|.Это и есть второе неравенство.

Что и требовалось доказать