Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 39

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 39

С какими абсолютными погрешностями Δ\Delta достаточно измерить стороны xx и yy прямоугольника, чтобы площадь его можно было вычислить с точностью до 0,01 м20{,}01\text{ м}^2, если ориентировочно стороны прямоугольника не превышают 1010 м каждая?

Решение

Идея

Пусть обе стороны измеряются с одной гарантированной погрешностью Δ\Delta. При раскрытии произведения изменённых сторон появятся две линейные добавки и произведение ошибок. Оценим все три слагаемых по модулю, используем условие x,y≤10x,y\le10 и решим полученное квадратное неравенство относительно Δ\Delta.
  1. 1
    Пусть∣Δx∣≤Δ,∣Δy∣≤Δ.|\Delta x|\le\Delta,
    \qquad
    |\Delta y|\le\Delta.    Тогда∣(x+Δx)(y+Δy)−xy∣=∣yΔx+xΔy+ΔxΔy∣≤y∣Δx∣+x∣Δy∣+∣Δx∣ ∣Δy∣.\begin{aligned}
    |(x+\Delta x)(y+\Delta y)-xy|
    &=|y\Delta x+x\Delta y+\Delta x\Delta y|\\
    &\le y|\Delta x|+x|\Delta y|+|\Delta x|\,|\Delta y|.
    \end{aligned}    Поскольку xx и yy — положительные стороны прямоугольника и x≤10x\le10, y≤10y\le10, получаем гарантированную оценкуΔS≤20Δ+Δ2.\Delta S\le20\Delta+\Delta^2.Поэтому достаточно потребовать20Δ+Δ2≤0.01.20\Delta+\Delta^2\le0.01.Для Δ≥0\Delta\ge0 полученное неравенство выполняется приΔ≤−10+100.01≈0.0004999875 м.\Delta\le-10+\sqrt{100.01}
    \approx0.0004999875\text{ м}.    Это практически 0.50.5 мм.
  2. 2
    Если взять ровно 0.50.5 мм, то 20Δ+Δ2=0.0100002520\Delta+\Delta^2=0.01000025 м2^2, что формально немного превышает требуемую границу. Поэтому для строгой гарантии погрешность должна быть чуть меньше 0.50.5 мм; это значение можно использовать лишь как практическое округление.

Проверка

Достаточно обеспечить для каждой стороныΔ≤100.01−10≈4.999875⋅10−4 м,\Delta\le\sqrt{100.01}-10\approx4.999875\cdot10^{-4}\text{ м},то есть немного меньше 0.50.5 мм.
Демидович № 39 — решение