Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 36

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 36

Радиус кругаr=7,2 м±0,1 м.r=7{,}2\text{ м}\pm0{,}1\text{ м}.С какой минимальной относительной погрешностью может быть определена площадь круга, если принять π=3,14\pi=3{,}14?

Решение

Идея

У площади здесь два источника неточности: измеренный радиус лежит в некотором интервале, а вместо точного числа π\pi используется 3.143.14. Поэтому сначала вычислим принятое значение площади, затем найдём крайние истинные площади при радиусах 7.17.1 и 7.37.3 и сравним с ними результат. Большая из двух относительных ошибок и будет минимальной гарантированной оценкой.
При принятом среднем радиусе и π=3.14\pi=3.14 получаемS0=3.14⋅7.22=162.7776 м2.S_0=3.14\cdot7.2^2=162.7776\text{ м}^2.Истинный радиус заключён в интервале1≤r≤7.3,1\le r\le7.3,поэтому истинная площадь удовлетворяетπ⋅7.12≤S≤π⋅7.32.\pi\cdot7.1^2\le S\le\pi\cdot7.3^2.Численно367686…≤S≤167.415473….367686\ldots\le S\le167.415473\ldots.На нижнем конце относительное отклонение равноS0−π 7.12π 7.12≈0.0278460,\frac{S_0-\pi\,7.1^2}{\pi\,7.1^2}
\approx0.0278460,а на верхнемπ 7.32−S0π 7.32≈0.0277028.\frac{\pi\,7.3^2-S_0}{\pi\,7.3^2}
\approx0.0277028.Следовательно, гарантированная относительная погрешность должна быть не меньше большего из этих значений.

Одна лишь оценка 2Δrr\frac{2\Delta r}{r} учитывала бы изменение радиуса, но не замену π\pi числом 3.143.14. Сравнение с двумя крайними истинными площадями включает оба источника ошибки.

Проверка

Минимальная гарантированная относительная погрешность составляет примерно0.02785≈2.785%.0.02785\approx2.785\%.
Демидович № 36 — решение