Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 36

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 36

Радиус кругаr=7,2 м±0,1 м.r=7{,}2\text{ м}\pm0{,}1\text{ м}.С какой минимальной относительной погрешностью может быть определена площадь круга, если принять π=3,14\pi=3{,}14?

Решение

Сравним площадь, вычисленную по средним данным и π=3,14\pi=3{,}14, с крайними истинными площадями.
При принятом среднем радиусе и π=3,14\pi=3{,}14 получаемS0=3,14⋅7.22=162,7776 м2.S_0=3{,}14\cdot7.2^2=162{,}7776\text{ м}^2.Истинный радиус заключён в интервале7,1≤r≤7.3,7{,}1\le r\le7.3,поэтому истинная площадь удовлетворяетπ⋅7.12≤S≤π⋅7.32.\pi\cdot7.1^2\le S\le\pi\cdot7.3^2.Численно158,367686…≤S≤167,415473….158{,}367686\ldots\le S\le167{,}415473\ldots.На нижнем конце относительное отклонение равноS0−π 7,12π 7,12≈0.0278460,\frac{S_0-\pi\,7{,}1^2}{\pi\,7{,}1^2}
\approx0.0278460,а на верхнемπ 7,32−S0π 7,32≈0.0277028.\frac{\pi\,7{,}3^2-S_0}{\pi\,7{,}3^2}
\approx0.0277028.Следовательно, гарантированная относительная погрешность должна быть не меньше большего из этих значений.

Одна лишь оценка 2Δrr\frac{2\Delta r}{r} учитывала бы изменение радиуса, но не замену π\pi числом 3,143{,}14. Сравнение с двумя крайними истинными площадями включает оба источника ошибки.

Минимальная гарантированная относительная погрешность составляет примерно0,02785≈2.785%.0{,}02785\approx2.785\%.
Демидович № 36 — решение | Высшая математика — Профиматика