Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 26

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Решить неравенство

|x+2|+|x-2|\le12.

Решение

Идея

Левая часть — сумма расстояний от точки

x

до точек

-2

2

. Между этими точками сумма постоянна и равна длине отрезка, а за его пределами начинает расти. Чтобы точно найти, где она не превосходит

12

, разобьём числовую прямую в точках

-2

2

и на каждом промежутке раскроем модули.

1
Разобьём прямую по точкам $-2$ и $2$ .
2
Если $x\le-2$ , то $|x+2|=-(x+2),\qquad |x-2|=-(x-2),$ поэтому $|x+2|+|x-2|=-2x.$ Получаем $-2x\le12,\qquad x\ge-6.$ С учётом $x\le-2$ имеем $-6\le x\le-2$ .
3
Если $-2\le x\le2$ , то $|x+2|+|x-2|=(x+2)+(2-x)=4\le12.$ Значит, весь отрезок $[-2,2]$ подходит.
4
Если $x\ge2$ , то $|x+2|+|x-2|=(x+2)+(x-2)=2x.$ Получаем $2x\le12,\qquad x\le6.$ С учётом $x\ge2$ имеем $2\le x\le6$ .

Объединяя случаи, получаем отрезок от $-6$ до $6$ .

На центральном отрезке $[-2,2]$ сумма расстояний до концов равна постоянной длине отрезка, то есть $4$ . Вне этого отрезка сумма возрастает линейно, что объясняет итоговый симметричный ответ.

Проверка

x\in[-6,6].