Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 30

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 30

Доказать тождество(x+∣x∣2)2+(x−∣x∣2)2=x2.\left(\frac{x+|x|}{2}\right)^2+
\left(\frac{x-|x|}{2}\right)^2=x^2.

Доказательство

Идея

Выраженияx+=x+∣x∣2,x−=x−∣x∣2x_+=\frac{x+|x|}{2},\qquad x_- =\frac{x-|x|}{2}выделяют положительную и отрицательную части числа xx: в зависимости от знака xx одно из них равно нулю, а другое — самому xx. Можно было бы разобрать два случая, но при сложении квадратов смешанные члены взаимно уничтожаются. Поэтому проверим тождество одним алгебраическим вычислением.
(x+∣x∣2)2+(x−∣x∣2)2=\left(\frac{x+|x|}{2}\right)^2+
\left(\frac{x-|x|}{2}\right)^2\mathrel{=}(x+∣x∣)2+(x−∣x∣)24=\frac{(x+|x|)^2+(x-|x|)^2}{4}\mathrel{=}x2+2x∣x∣+∣x∣2+x2−2x∣x∣+∣x∣24=\frac{x^2+2x|x|+|x|^2+x^2-2x|x|+|x|^2}{4}\mathrel{=}2x2+2∣x∣24.\frac{2x^2+2|x|^2}{4}.Так как ∣x∣2=x2|x|^2=x^2, последняя дробь равна4x24=x2.\frac{4x^2}{4}=x^2.Смешанные члены ±2x∣x∣\pm2x|x| взаимно уничтожаются; именно поэтому тождество не требует разбиения на случаи x≥0x\ge0 и x<0x<0.

Проверка

Тождество доказано.

Что и требовалось доказать

Демидович № 30 — решение