Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 30

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 30

Доказать тождество(x+∣x∣2)2+(x−∣x∣2)2=x2.\left(\frac{x+|x|}{2}\right)^2+
\left(\frac{x-|x|}{2}\right)^2=x^2.

Доказательство

При сложении квадратов смешанные члены уничтожаются:
(x+∣x∣2)2+(x−∣x∣2)2=\displaystyle \left(\frac{x+|x|}{2}\right)^2+
\left(\frac{x-|x|}{2}\right)^2\mathrel{=}(x+∣x∣)2+(x−∣x∣)24=\displaystyle \frac{(x+|x|)^2+(x-|x|)^2}{4}\mathrel{=}2x2+2∣x∣24=\displaystyle \frac{2x^2+2|x|^2}{4}\mathrel{=}x2.\displaystyle x^2.В последнем равенстве использовано ∣x∣2=x2|x|^2=x^2, которое верно при любом знаке xx.

Что и требовалось доказать