Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 34

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 34

Стороны прямоугольника равны:x=2,50 см±0,01 см,y=4,00 см±0,02 см.x=2{,}50\text{ см}\pm0{,}01\text{ см},\qquad
y=4{,}00\text{ см}\pm0{,}02\text{ см}.В каких границах заключается площадь SS этого прямоугольника? Каковы абсолютная погрешность Δ\Delta и относительная погрешность δ\delta площади прямоугольника, если за стороны его принять средние значения?

Решение

Идея

Обе стороны положительны, а площадь S=xyS=xy возрастает при увеличении любой из них. Значит, наименьшая площадь получится из двух нижних концов интервалов, а наибольшая — из двух верхних. После этого сравним площадь, вычисленную по средним значениям, с обоими концами: сначала в абсолютных единицах, затем относительно истинной площади.
  1. 1
    Имеем49≤x≤2.51,98≤y≤4.02.49\le x\le2.51,
    \qquad

    98\le y\le4.02.    Следовательно,Smin⁡=2.49⋅3.98=9.9102,S_{\min}=2.49\cdot3.98=9.9102,Smax⁡=2.51⋅4.02=10.0902.S_{\max}=2.51\cdot4.02=10.0902.Таким образом,9102≤S≤10.0902(см2).9102\le S\le10.0902\quad(\text{см}^2).
  2. 2
    При средних значениях сторонS0=2.50⋅4.00=10.0000 см2.S_0=2.50\cdot4.00=10.0000\text{ см}^2.Наибольшее абсолютное отклонение равноΔS≤max⁡{10−9.9102, 10.0902−10}=0.0902 см2.\Delta S\le
    \max\{10-9.9102,\ 10.0902-10\}
    =0.0902\text{ см}^2.
  3. 3
    Для относительной погрешности знаменателем служит истинная площадь. На нижнем конце интервала10−9.91029.9102≈0.0090614,\frac{10-9.9102}{9.9102}\approx0.0090614,а на верхнем10.0902−1010.0902≈0.0089394.\frac{10.0902-10}{10.0902}\approx0.0089394.Первая величина больше, поэтомуδS≤0.009062≈0.9062%.\delta_S\le0.009062\approx0.9062\%.Приближённая формула δS≈δx+δy\delta_S\approx\delta_x+\delta_y отбросила бы произведение погрешностей. Здесь крайние площади вычислены непосредственно, поэтому полученный интервал учитывает и этот малый член, и точные границы заданных интервалов сторон.

Проверка

9.9102≤S≤10.0902(см2),9.9102\le S\le10.0902\quad(\text{см}^2),S0=10.0000 см2,ΔS≤0.0902 см2,δS≤0.9062%.S_0=10.0000\text{ см}^2,
\qquad
\Delta S\le0.0902\text{ см}^2,
\qquad
\delta_S\le0.9062\%.
Демидович № 34 — решение