Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 34

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 34

Стороны прямоугольника равны:

x=2{,}50\text{ см}\pm0{,}01\text{ см},\qquady=4{,}00\text{ см}\pm0{,}02\text{ см}.

В каких границах заключается площадь

S

этого прямоугольника? Каковы абсолютная погрешность

\Delta

и относительная погрешность

\delta

площади прямоугольника, если за стороны его принять средние значения?

Решение

Площадь возрастает по каждой положительной стороне; крайние площади дадут точные оценки погрешностей.

Имеем

2{,}49\le x\le2.51,\qquad3{,}98\le y\le4.02.

Следовательно,

S_{\min}=2{,}49\cdot3.98=9{,}9102,

S_{\max}=2{,}51\cdot4.02=10{,}0902.

Таким образом,

9{,}9102\le S\le10{,}0902\quad(\text{см}^2).

При средних значениях сторон

S_0=2{,}50\cdot4.00=10{,}0000\text{ см}^2.

Наибольшее абсолютное отклонение равно

\Delta S\le\max\{10-9{,}9102,\ 10{,}0902-10\}=0{,}0902\text{ см}^2.

Для относительной погрешности знаменателем служит истинная площадь. На нижнем конце интервала

\frac{10-9{,}9102}{9{,}9102}\approx0.0090614,

а на верхнем

\frac{10{,}0902-10}{10{,}0902}\approx0.0089394.

Первая величина больше, поэтому

\delta_S\le0.009062\approx0.9062\%.

Приближённая формула

\delta_S\approx\delta_x+\delta_y

отбросила бы произведение погрешностей. Здесь крайние площади вычислены непосредственно, поэтому полученный интервал учитывает и этот малый член, и точные границы заданных интервалов сторон.

9{,}9102\le S\le10{,}0902\quad(\text{см}^2),

S_0=10{,}0000\text{ см}^2,\qquad\Delta S\le0.0902\text{ см}^2,\qquad\delta_S\le0.9062\%.