Демидович — задача 7

1. 1
   Теперь докажем строгое неравенство $(1+x)^n > 1+nx$ для любого $x > -1$, $x \ne 0$, и любого натурального $n \ge 2$.
2. 2

   База индукции

   При $n = 2$ левая часть раскрывается по формуле квадрата суммы: $(1+x)^2 = 1 + 2x + x^2$. Поскольку $x \ne 0$, квадрат $x^2$ строго больше нуля. Отбрасывая его, получаем строгое неравенство:$$1 + 2x + x^2 > 1 + 2x.$$Значит, для $n=2$ утверждение верно.
3. 3

   Индукционный переход

   Предположим, что для некоторого $n \ge 2$ верно строгое неравенство $(1+x)^n > 1+nx$. Докажем, что оно выполняется и для шага $n+1$. Поскольку по условию $x > -1$, выражение $(1+x)$ строго положительно. Это значит, что мы можем домножить обе части неравенства на $(1+x)$, и знак неравенства при этом сохранится:$$(1+x)^{n+1} > (1+nx)(1+x).$$Раскроем скобки в правой части:$$(1+nx)(1+x) = 1 + x + nx + nx^2 = 1 + (n+1)x + nx^2.$$Поскольку $n$ - натуральное число, а $x \ne 0$, слагаемое $nx^2$ строго положительно. Если мы отбросим это положительное слагаемое, правая часть строго уменьшится:$$1 + (n+1)x + nx^2 > 1 + (n+1)x.$$Соединяя начало и конец наших неравенств, получаем:$$(1+x)^{n+1} > 1 + (n+1)x.$$Неравенство установлено для всех $n \ge 2$, причём мы доказали, что при $x \ne 0$ оно всегда строгое, а равенство возможно исключительно в случае $x = 0$.

Что и требовалось доказать