Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 7

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 7

Доказать, что если x>−1x>-1, то справедливо неравенство(1+x)n≥1+nx(n>1),(1+x)^n\ge 1+nx\qquad(n>1),причем знак равенства имеет место лишь при x=0x=0.

Доказательство

Начало индукции

При n=2n=2(1+x)2−(1+2x)=x2.(1+x)^2-(1+2x)=x^2.Разность положительна при x≠0x\ne0 и равна нулю при x=0x=0.

Переход

Пусть x>−1x>-1, x≠0x\ne0 и при некотором n≥2n\ge2 уже доказано (1+x)n>1+nx(1+x)^n>1+nx. Так как 1+x>01+x>0, умножение сохраняет знак неравенства:(1+x)n+1>(1+nx)(1+x)=1+(n+1)x+nx2>1+(n+1)x.(1+x)^{n+1}>(1+nx)(1+x)
=1+(n+1)x+nx^2>1+(n+1)x.Переход выполнен. Если x=0x=0, то обе стороны исходного неравенства равны 11 при любом nn. Значит, при n>1n>1 равенство возможно только в этом случае.

Что и требовалось доказать