Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 23

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 23

Решить неравенство∣x−2∣≥10.|x-2|\ge10.

Решение

Идея

Модуль ∣x−2∣|x-2| — расстояние от xx до точки 22. Точки, удалённые от центра не меньше чем на 1010, лежат по обе стороны от открытого интервала радиуса 1010. Поэтому неравенство распадётся на два луча; знак равенства подсказывает, что их граничные точки нужно сохранить.
∣x−2∣≥10⟺{x−2≤−10,x−2≥10.|x-2|\ge10
\Longleftrightarrow
\begin{cases}
x-2\le-10,\\ x-2\ge10.
\end{cases}Отсюдаx≤−8илиx≥12.x\le-8
\quad\text{или}\quad
x\ge12.Знак ≥\ge означает, что точки, удалённые ровно на 1010, включаются в решение.

Проверка

x∈(−∞,−8]∪[12,+∞).x\in(-\infty,-8]\cup[12,+\infty).
Демидович № 23 — решение