Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 31

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 31

При измерении длины в 1010 см абсолютная погрешность составляла 0,50{,}5 мм; при измерении расстояния в 500500 км абсолютная погрешность была равна 200200 м. Какое измерение точнее?

Решение

Идея

По определению относительная погрешность равнаδ=Δ∣a∣,\delta=\frac{\Delta}{|a|},где Δ\Delta — абсолютная погрешность, а aa — точное значение измеряемой величины. Поскольку точные значения нам неизвестны, оценим их с помощью данных об абсолютной погрешности.
  1. 1
    Для первого измерения10 см=100 мм,Δ1=0,5 мм.10\text{ см}=100\text{ мм},\qquad \Delta_1=0{,}5\text{ мм}.Если a1a_1 — точная длина, то∣a1−100∣≤0,5,|a_1-100|\leq0{,}5,откуда99,5≤a1≤100,5.99{,}5\leq a_1\leq100{,}5.Поэтому относительная погрешность первого измерения удовлетворяетδ1=0,5a1≥0,5100,5.\delta_1=\frac{0{,}5}{a_1}
    \geq
    \frac{0{,}5}{100{,}5}.
  2. 2
    Для второго измерения500 км=500 000 м,Δ2=200 м.500\text{ км}=500\,000\text{ м},\qquad \Delta_2=200\text{ м}.Если a2a_2 — точное расстояние, то∣a2−500 000∣≤200,|a_2-500\,000|\leq200,и потому499 800≤a2≤500 200.499\,800\leq a_2\leq500\,200.Отсюдаδ2=200a2≤200499 800.\delta_2=\frac{200}{a_2}
    \leq
    \frac{200}{499\,800}.    Сравним полученные оценки:200499 800<0,5100,5.\frac{200}{499\,800}
    <
    \frac{0{,}5}{100{,}5}.    Действительно,200499 800≈0,0004002,0,5100,5≈0,004975.\frac{200}{499\,800}\approx0{,}0004002,
    \qquad
    \frac{0{,}5}{100{,}5}\approx0{,}004975.    Значит,δ2<δ1.\delta_2<\delta_1.Чем меньше относительная погрешность, тем точнее измерение, поэтому второе измерение точнее.

Проверка

Второе измерение произведено точнее.
Демидович № 31 — решение