Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 24

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 24

Решить неравенство∣x∣>∣x+1∣.|x|>|x+1|.

Решение

Идея

Здесь сравниваются расстояния от xx до точек 00 и −1-1. Искомые точки ближе к −1-1, поэтому границей служит середина отрезка между этими точками, то есть −12-\frac12. Чтобы получить ответ без опоры на рисунок, возведём обе неотрицательные части в квадрат; это будет равносильным преобразованием.
Обе части неотрицательны, поэтому∣x∣>∣x+1∣⟺x2>(x+1)2.|x|>|x+1|
\Longleftrightarrow
x^2>(x+1)^2.Раскрываем квадрат:x2>x2+2x+1⟺2x+1<0.x^2>x^2+2x+1
\Longleftrightarrow
2x+1<0.Следовательно,x<−12.x<-\frac12.В точке x=−12x=-\frac12 расстояния до 00 и −1-1 равны. Поскольку исходное неравенство строгое, сама середина в ответ не входит.

Проверка

x∈(−∞,−12).x\in\left(-\infty,-\frac12\right).
Демидович № 24 — решение | Высшая математика — Профиматика