Демидович — задача 15

1. 1
   Существование точной верхней грани. Пусть $X\subset\mathbb R$ непусто и ограничено сверху. Каждый элемент $x\in X$ представлен своим нижним рациональным классом $A_x$. Определим$$A=\bigcup_{x\in X}A_x.$$Проверим, что $A$ является нижним классом некоторого сечения.
   
   Множество $A$ непусто, потому что $X$ непусто и каждый класс $A_x$ непуст. Пусть $u$ — верхняя граница $X$. Тогда $x\le u$ для всех $x\in X$, следовательно,$$A_x\subseteq A_u.$$Отсюда $A\subseteq A_u\ne\mathbb Q$, то есть $A$ не совпадает со всей $\mathbb Q$.
2. 2
   Если $r\in A$ и $s<r$, то $r\in A_x$ для некоторого $x\in X$. Поскольку $A_x$ замкнут вниз, $s\in A_x\subseteq A$. Если $r\in A$, то $r\in A_x$ для некоторого $x$, а в $A_x$ нет наибольшего элемента; значит, существует $r'>r$ с $r'\in A_x\subseteq A$. Итак, $A$ действительно является нижним классом сечения. Обозначим задаваемое им число через $M$.
3. 3
   Для каждого $x\in X$ имеем $A_x\subseteq A=A_M$, поэтому $x\le M$: число $M$ является верхней границей $X$.
4. 4
   Покажем её точность. Пусть $y<M$. Тогда $A_y\subsetneq A_M=A$, поэтому существует рациональное $r\in A\setminus A_y$. По определению объединения $r\in A_x$ для некоторого $x\in X$. У любых двух вещественных чисел один нижний класс содержится в другом; это и означает, что классы линейно упорядочены включением. Поскольку $r\in A_x$, но $r\notin A_y$, имеем $A_y\subsetneq A_x$, то есть $y<x$. Следовательно, $y$ не является верхней границей $X$. Значит,$$M=\sup X.$$Существование точной нижней грани. Пусть теперь $X$ непусто и ограничено снизу. Тогда множество$$-X=\{-x:\ x\in X\}$$непусто и ограничено сверху. По уже доказанному существует $M=\sup(-X)$. Положим $m=-M$.
5. 5
   Для любого $x\in X$ имеем $-x\le M$. Умножая неравенство на $-1$, получаем$$x\ge -M=m.$$Следовательно, $m$ — нижняя граница $X$. Если $z>m$, то $-z<M$. Так как $M$ — точная верхняя грань $-X$, число $-z$ не является верхней границей. Поэтому существует элемент $-x\in-X$, для которого $-z<-x$, то есть $x<z$. Следовательно, $z$ не является нижней границей $X$. Значит,$$m=\inf X.$$Таким образом, существование точных граней выведено из модели вещественных чисел посредством сечений. Доказываемое утверждение нигде не использовалось как готовая аксиома, поэтому рассуждение не является круговым.

Что и требовалось доказать