Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 15

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 15

Доказать, что всякое непустое числовое множество, ограниченное снизу, имеет нижнюю грань, а всякое непустое числовое множество, ограниченное сверху, имеет верхнюю грань.

Доказательство

Верхнюю грань зададим объединением нижних классов элементов множества. Нижняя грань затем получается сменой знака.

Существование точной верхней грани. Пусть X⊂RX\subset\mathbb R непусто и ограничено сверху. Каждый элемент x∈Xx\in X представлен своим нижним рациональным классом AxA_x. ОпределимA=⋃x∈XAx.A=\bigcup_{x\in X}A_x.Проверим, что AA является нижним классом некоторого сечения.

Множество AA непусто, потому что XX непусто и каждый класс AxA_x непуст. Пусть uu — верхняя граница XX. Тогда x≤ux\le u для всех x∈Xx\in X, следовательно,Ax⊆Au.A_x\subseteq A_u.Отсюда A⊆Au≠QA\subseteq A_u\ne\mathbb Q, то есть AA не совпадает со всей Q\mathbb Q.
Если r∈Ar\in A и s<rs<r, то r∈Axr\in A_x для некоторого x∈Xx\in X. Поскольку AxA_x замкнут вниз, s∈Ax⊆As\in A_x\subseteq A. Если r∈Ar\in A, то r∈Axr\in A_x для некоторого xx, а в AxA_x нет наибольшего элемента; значит, существует r′>rr'>r с r′∈Ax⊆Ar'\in A_x\subseteq A. Итак, AA действительно является нижним классом сечения. Обозначим задаваемое им число через MM.
Для каждого x∈Xx\in X имеем Ax⊆A=AMA_x\subseteq A=A_M, поэтому x≤Mx\le M: число MM является верхней границей XX.
Покажем её точность. Пусть y<My<M. Тогда Ay⊊AM=AA_y\subsetneq A_M=A, поэтому существует рациональное r∈A∖Ayr\in A\setminus A_y. По определению объединения r∈Axr\in A_x для некоторого x∈Xx\in X. У любых двух вещественных чисел один нижний класс содержится в другом; это и означает, что классы линейно упорядочены включением. Поскольку r∈Axr\in A_x, но r∉Ayr\notin A_y, имеем Ay⊊AxA_y\subsetneq A_x, то есть y<xy<x. Следовательно, yy не является верхней границей XX. Значит,M=sup⁡X.M=\sup X.Существование точной нижней грани. Пусть теперь XX непусто и ограничено снизу. Тогда множество−X={−x: x∈X}-X=\{-x:\ x\in X\}непусто и ограничено сверху. По уже доказанному существует M=sup⁡(−X)M=\sup(-X). Положим m=−Mm=-M.
Для любого x∈Xx\in X имеем −x≤M-x\le M. Умножая неравенство на −1-1, получаемx≥−M=m.x\ge -M=m.Следовательно, mm — нижняя граница XX. Если z>mz>m, то −z<M-z<M. Так как MM — точная верхняя грань −X-X, число −z-z не является верхней границей. Поэтому существует элемент −x∈−X-x\in-X, для которого −z<−x-z<-x, то есть x<zx<z. Следовательно, zz не является нижней границей XX. Значит,m=inf⁡X.m=\inf X.Тем самым построены обе точные грани: верхняя через объединение нижних классов, а нижняя через смену знака.

Итак, у непустого ограниченного сверху множества есть sup⁡X\sup X, а у ограниченного снизу — inf⁡X\inf X.

Что и требовалось доказать