Демидович — задача 20

1. 1
   Пусть $X,Y\subset[0,+\infty)$ непусты и$$XY=\{xy:\ x\in X,\ y\in Y\}.$$Пункт а: нижняя граница. Обозначим$$\alpha=\inf X,$$
   \qquad
   \beta=\inf Y.Поскольку $X$ и $Y$ непусты и состоят из неотрицательных чисел, $\alpha,\beta\in[0,+\infty)$. Для любых $x\in X$, $y\in Y$$$x\ge\alpha\ge0,$$
   \qquad
   y\ge\beta\ge0,откуда $xy\ge\alpha\beta$.
   
   Пусть $\varepsilon>0$ и$$\eta=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{\alpha+\beta+1}\right\}.$$Можно выбрать $x\in X$ и $y\in Y$ так, что$$\alpha\le x<\alpha+\eta,$$
   \qquad
   \beta\le y<\beta+\eta.Тогда$$\begin{aligned}$$
   xy
   &<(\alpha+\eta)(\beta+\eta)\\
   &=\alpha\beta+\eta(\alpha+\beta)+\eta^2\\
   &\le\alpha\beta+\eta(\alpha+\beta+1)\\
   &\le\alpha\beta+\varepsilon.
   \end{aligned}Следовательно,$$\inf(XY)=\alpha\beta.$$Пункт б: конечные верхние грани. Пусть$$A=\sup X<+\infty,$$
   \qquad
   B=\sup Y<+\infty.Тогда $xy\le AB$ для всех $x\in X$, $y\in Y$.
2. 2
   Если $A=0$, то $X=\{0\}$; если $B=0$, то $Y=\{0\}$. В каждом из этих случаев $XY=\{0\}$ и $\sup(XY)=AB=0$.
   
   Пусть теперь $A>0$ и $B>0$. Для $\varepsilon>0$ положим$$\eta=\min\left\{\frac A2,\frac B2,\frac{\varepsilon}{A+B}\right\}.$$Выберем $x\in X$, $y\in Y$ так, что$$A-\eta<x\le A,$$
   \qquad
   B-\eta<y\le B.Тогда$$\begin{aligned}$$
   AB-xy
   &=A(B-y)+y(A-x)\\
   &<A\eta+B\eta\\
   &=(A+B)\eta\le\varepsilon.
   \end{aligned}Значит, $AB-\varepsilon<xy\le AB$, поэтому$$\sup(XY)=AB.$$Пункт б: неограниченные случаи. Пусть $\sup X=+\infty$ и $\sup Y=B>0$ (конечное или бесконечное). Из $B>0$ следует, что в $Y$ имеется элемент $y_0>0$. Для любого $C>0$ выбираем $x\in X$ так, что $x>\frac C{y_0}$. Тогда $xy_0>C$, поэтому$$\sup(XY)=+\infty.$$Тот же вывод получается при $\sup Y=+\infty$ и $\sup X>0$.
3. 3
   Если же $\sup X=+\infty$, но $\sup Y=0$, то из неотрицательности следует $Y=\{0\}$, поэтому $XY=\{0\}$ и $\sup(XY)=0$. Это и есть исключительный случай, в котором правая часть печатной формулы имела бы неопределённый вид $(+\infty)\cdot0$.
   
   Пункт а не нуждается в предположении ограниченности: у непустых множеств из $[0,+\infty)$ инфимумы всегда конечны. Пункт б доказан во всех случаях, где произведение расширенных граней определено; вырожденный случай $0\cdot(+\infty)$ описан отдельно, без использования неопределённого произведения.

Что и требовалось доказать