Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 4

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Применяя метод математической индукции, доказать, что для любого натурального числа nn справедливо равенство

Задача 4

1+2+22+⋯+2n−1=2n−1.1+2+2^2+\cdots+2^{n-1}=2^n-1.

Доказательство

Идея

Если увеличить nn на единицу, в левой части появится один новый член 2n2^n. Значит, формула для предыдущей суммы сразу даст почти весь следующий случай. Проверим начальное значение, а затем прибавим 2n2^n к обеим частям индукционного равенства.
  1. 1

    База

    При n=1n=1 сумма состоит из одного члена 11, а 21−1=12^1-1=1.

    Предположение. Пусть1+2+22+⋯+2n−1=2n−1.1+2+2^2+\cdots+2^{n-1}=2^n-1.Переход. Тогда1+2+⋯+2n−1+2n=1+2+\cdots+2^{n-1}+2^n\mathrel{=}(2n−1)+2n=(2^n-1)+2^n\mathrel{=}2n+1−1.2^{n+1}-1.Это формула для n+1n+1.

    Эту сумму можно было бы вычислить и как конечную геометрическую прогрессию. Здесь, в соответствии с условием, мы получили ту же формулу методом математической индукции.

Проверка

1+2+22+⋯+2n−1=2n−1.1+2+2^2+\cdots+2^{n-1}=2^n-1.

Что и требовалось доказать