Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 4

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Применяя метод математической индукции, доказать, что для любого натурального числа nn справедливо равенство

Задача 4

1+2+22+⋯+2n−1=2n−1.1+2+2^2+\cdots+2^{n-1}=2^n-1.

Доказательство

При n=1n=1 слева стоит 11, справа 21−1=12^1-1=1. Пусть для некоторого nn сумма первых nn слагаемых равна 2n−12^n-1. У суммы первых n+1n+1 слагаемых появляется ровно одно новое слагаемое 2n2^n, поэтому
1+2+⋯+2n−1+2n=(2n−1)+2n=2n+1−1.1+2+\cdots+2^{n-1}+2^n=(2^n-1)+2^n=2^{n+1}-1.Это и есть формула для следующего номера. По индукции она выполняется при каждом n≥1n\ge1.

Что и требовалось доказать