Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 33

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 33

Числоx=12,125x=12{,}125содержит 33 верных знака. Определить, какова относительная погрешность этого числа.

Решение

Идея

Третья значащая цифра числа 12.12512.125 стоит в разряде десятых. Поэтому абсолютная погрешность не превосходит половины единицы этого разряда, то есть 0.050.05. Чтобы получить гарантированную относительную оценку, разделим эту величину не на записанное приближение, а на наименьшее возможное истинное значение. После этого для сравнения приведём и обычную практическую оценку.
  1. 1
    Пусть aa — точное значение. Из условия о трёх верных знаках∣x−a∣≤0.05.|x-a|\le0.05.Следовательно,a≥12.125−0.05=12.075.a\ge12.125-0.05=12.075.Поэтомуδ=∣x−a∣∣a∣≤0.0512.075≈0.0041408.\delta=\frac{|x-a|}{|a|}
    \le\frac{0.05}{12.075}
    \approx0.0041408.    В процентахδ≤0.4141%.\delta\le0.4141\%.
  2. 2
    Если вместо неизвестного истинного значения взять записанное приближение, получится близкое число0.0512.125≈0.0041237=0.4124%.\frac{0.05}{12.125}\approx0.0041237=0.4124\%.Оценка 0.4141%0.4141\% является гарантированной верхней границей, а 0.4124%0.4124\% — практическим приближением, полученным заменой истинного значения на известное число. Эти величины близки, но отвечают на немного разные вопросы, поэтому смешивать их не следует.

Проверка

Гарантированноδ≤0.004141≈0.4141%.\delta\le0.004141\approx0.4141\%.
Демидович № 33 — решение