Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 12

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 12

Сечение A/BA/B, определяющее число 23\sqrt[3]{2}, строится следующим образом: класс AA содержит все рациональные числа aa такие, что a3<2a^3<2; класс BB содержит все остальные рациональные числа. Доказать, что в классе AA нет наибольшего числа, а в классе BB — наименьшего.

Сначала покажем, что равенство r3=2r^3=2 невозможно для рационального rr. После этого для любого a∈Aa\in A построим большее рациональное число a+εa+\varepsilon, которое всё ещё принадлежит AA, а для любого b∈Bb\in B — меньшее рациональное число b−εb-\varepsilon, остающееся в BB. В обоих случаях достаточно подобрать малый рациональный шаг ε>0\varepsilon>0 и непосредственно проверить соответствующее неравенство для кубов.

Опирается на задачу 11

Доказательство

Идея

Рационального числа с кубом 22 не существует. Предположим, чтоr3=2r^3=2для некоторого рационального числаr=pq,(p,q)=1,q>0.r=\frac pq,\qquad (p,q)=1,\qquad q>0.Тогдаp3=2q3.p^3=2q^3.Число p3p^3 чётно, значит, pp чётно. Положим p=2kp=2k. Получаем8k3=2q3,q3=4k3.8k^3=2q^3,
\qquad
q^3=4k^3.Отсюда q3q^3 чётно, а значит, чётно и qq. Это противоречит условию (p,q)=1(p,q)=1. Следовательно, рационального числа rr, удовлетворяющего равенству r3=2r^3=2, нет.
В классе AA нет наибольшего элемента. Пусть a∈Aa\in A. По определениюa3<2.a^3<2.Положимd=2−a3>0.d=2-a^3>0.Выберем рациональное ε>0\varepsilon>0 так, чтобыε<1,ε<d3a2+3∣a∣+1.\varepsilon<1,
\qquad
\varepsilon<\frac{d}{3a^2+3|a|+1}.Тогда(a+ε)3−a3=3a2ε+3aε2+ε3≤3a2ε+3∣a∣ε2+ε3<(3a2+3∣a∣+1)ε<d.\begin{aligned}
(a+\varepsilon)^3-a^3
&=3a^2\varepsilon+3a\varepsilon^2+\varepsilon^3\\
&\leq 3a^2\varepsilon+3|a|\varepsilon^2+\varepsilon^3\\
&<(3a^2+3|a|+1)\varepsilon\\
&<d.
\end{aligned}Отсюда(a+ε)3<a3+d=(a+\varepsilon)^3
<
a^3+d
=Число a+εa+\varepsilon рационально, поэтомуa+ε∈A,a+ε>a.a+\varepsilon\in A,
\qquad
a+\varepsilon>a.Для каждого a∈Aa\in A найден больший элемент того же класса, значит, в AA нет наибольшего числа.

В классе BB нет наименьшего элемента. Пусть b∈Bb\in B. Поскольку BB содержит все рациональные числа, не принадлежащие AA, имеемb3≥2.b^3\geq2.Равенство b3=2b^3=2 невозможно по доказанному выше, поэтомуb3>2.b^3>2.В частности, b>0b>0. Положимd=b3−2>0.d=b^3-2>0.Выберем рациональное ε>0\varepsilon>0 так, чтобыε<b,ε<1,ε<d3b2+1.\varepsilon<b,
\qquad
\varepsilon<1,
\qquad
\varepsilon<\frac{d}{3b^2+1}.Тогда b−ε>0b-\varepsilon>0 иb3−(b−ε)3=3b2ε−3bε2+ε3≤3b2ε+ε3<(3b2+1)ε<d.\begin{aligned}
b^3-(b-\varepsilon)^3
&=3b^2\varepsilon-3b\varepsilon^2+\varepsilon^3\\
&\leq3b^2\varepsilon+\varepsilon^3\\
&<(3b^2+1)\varepsilon\\
&<d.
\end{aligned}Поэтому(b−ε)3>b3−d=(b-\varepsilon)^3
>
b^3-d
=Число b−εb-\varepsilon рационально, откудаb−ε∈B,b−ε<b.b-\varepsilon\in B,
\qquad
b-\varepsilon<b.Для каждого b∈Bb\in B найден меньший элемент того же класса, значит, в BB нет наименьшего числа.

Проверка

В классе AA нет наибольшего числа, а в классе BB нет наименьшего.

Что и требовалось доказать

Демидович № 12 — решение