Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 12

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 12

Сечение AB\frac{A}{B}, определяющее число 23\sqrt[3]{2}, строится следующим образом: класс AA содержит все рациональные числа aa такие, что a3<2a^3<2; класс BB содержит все остальные рациональные числа. Доказать, что в классе AA нет наибольшего числа, а в классе BB — наименьшего.

Опирается на

Доказательство

Рационального корня нет

Если бы pq\frac pq было корнем r3=2r^3=2 при взаимно простых целых p,qp,q и q>0q>0, то p3=2q3p^3=2q^3. Отсюда pp чётно. При p=2kp=2k получаем q3=4k3q^3=4k^3, так что qq тоже чётно. Это противоречит взаимной простоте pp и qq.

У класса AA нет наибольшего числа

Пусть a∈Aa\in A и d=2−a3>0d=2-a^3>0. Выберем рациональное 0<ε<10<\varepsilon<1 так, чтобыε<d3a2+3∣a∣+1.\varepsilon<\frac{d}{3a^2+3|a|+1}.Тогда(a+ε)3−a3=3a2ε+3aε2+ε3<(3a2+3∣a∣+1)ε<d.(a+\varepsilon)^3-a^3
=3a^2\varepsilon+3a\varepsilon^2+\varepsilon^3
<(3a^2+3|a|+1)\varepsilon<d.Следовательно, a+ε>aa+\varepsilon>a и (a+ε)3<2(a+\varepsilon)^3<2; это снова элемент AA.

У класса BB нет наименьшего числа

Для b∈Bb\in B равенство b3=2b^3=2 невозможно, а значит, d=b3−2>0d=b^3-2>0 и b>0b>0. Возьмём рациональное0<ε<min⁡{b,1,d3b2+1}.0<\varepsilon<\min\left\{b,1,\frac{d}{3b^2+1}\right\}.Тогда b−ε>0b-\varepsilon>0 иb3−(b−ε)3=3b2ε−3bε2+ε3<(3b2+1)ε<d.b^3-(b-\varepsilon)^3
=3b^2\varepsilon-3b\varepsilon^2+\varepsilon^3
<(3b^2+1)\varepsilon<d.Поэтому (b−ε)3>2(b-\varepsilon)^3>2, то есть b−ε∈Bb-\varepsilon\in B и b−ε<bb-\varepsilon<b. Оба крайних элемента исключены.

Что и требовалось доказать