Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 1

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Применяя метод математической индукции, доказать, что для любого натурального числа nn справедливо равенство

Задача 1

1+2+⋯+n=n(n+1)2.1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2.

Доказательство

Начало индукции

При n=1n=1 обе части равны единице:1=1⋅22.1=\frac{1\cdot2}{2}.

Переход

Пусть равенство доказано для некоторого натурального nn:1+2+⋯+n=n(n+1)2.1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}.Прибавляя к этой сумме следующее число, находим1+2+⋯+n+(n+1)=\displaystyle 1+2+\cdots+n+(n+1)\mathrel{=}n(n+1)2+(n+1)=\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}+(n+1)\mathrel{=}(n+1)(n+2)2.\displaystyle \frac{(n+1)(n+2)}{2}.Это та же формула для n+1n+1. По индукции она верна при каждом n∈Nn\in\mathbb N.

Что и требовалось доказать