Демидович — задача 1

1. 1
   Небольшое отступление о методе математической индукции. Суть метода проще всего представить как эффект домино или бесконечную лестницу. Нам не нужно проверять истинность формулы вручную для каждого миллионного или миллиардного числа - это невозможно. Вместо этого мы делаем всего два простых шага. Сначала мы доказываем, что можем встать на самую первую ступеньку (это
   
   база индукции, проверка для $n=1$). Затем мы доказываем универсальное правило: если мы предполагаем, что уже добрались до какой-то произвольной ступеньки с номером $n$, то у нас гарантированно сработает переход на следующую ступеньку $n+1$ (это индукционный переход).
   
   Мы знаем, что стоим на первой ступени, применяя к ней доказанное правило перехода, мы автоматически подтверждаем формулу для второй ступени. Раз она верна для второй, правило тут же перекидывает нас на третью, с третьей на четвёртую, и так далее, мы просто задаём стартовую точку и алгоритм шага, после чего метод сам показывает истинность утверждения для абсолютно любого сколь угодно большого номера $n$, так как мы доказали наше свойство в общем виде.
   
   Посмотрим, что меняется при увеличении $n$ на единицу: к сумме первых $n$ натуральных чисел добавляется только следующее число $n+1$. Это позволяет связать два соседних случая одной короткой цепочкой вычислений. Именно для таких утверждений подходит математическая индукция: проверим формулу при $n=1$, предположим её верной для $n$ и из этого предположения выведем формулу для $n+1$.
2. 2

   База индукции

   При $n=1$ левая и правая части равны:$$1=\frac{1\cdot2}{2}=1.$$
3. 3

   Индукционное предположение

   Предположим, что для некоторого натурального $n$ уже установлено$$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2.$$
4. 4

   Переход к $n+1$

   К сумме первых $n$ чисел добавим следующий член $n+1$ и воспользуемся индукционным предположением:$1+2+\cdots+n+(n+1)\mathrel{=}$$\frac{n(n+1)}2+(n+1)\mathrel{=}$$(n+1)\left(\frac n2+1\right)\mathrel{=}$$\frac{(n+1)(n+2)}2.$Полученная правая часть имеет тот же вид, что и исходная формула, но вместо $n$ в ней стоит $n+1$.$$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2.$$

Что и требовалось доказать