Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 27

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 27

Решить неравенство∣x+2∣−∣x∣>1.|x+2|-|x|>1.

Решение

Идея

Здесь вычитаются расстояния от xx до точек −2-2 и 00. Вид этой разности меняется только тогда, когда xx проходит через одну из этих точек. Поэтому разделим прямую точками −2-2 и 00, раскроем модули на каждом промежутке и затем объединим подходящие части.
  1. 1
    Если x<−2x<-2, то∣x+2∣=−(x+2),∣x∣=−x.|x+2|=-(x+2),\qquad |x|=-x.Тогда∣x+2∣−∣x∣=−(x+2)+x=−2,|x+2|-|x|=-(x+2)+x=-2,и неравенство −2>1-2>1 невозможно.
  2. 2
    Если −2≤x<0-2\le x<0, то∣x+2∣=x+2,∣x∣=−x.|x+2|=x+2,
    \qquad |x|=-x.    Тогда∣x+2∣−∣x∣=x+2+x=2x+2.|x+2|-|x|=x+2+x=2x+2.Получаем2x+2>1,x>−12.2x+2>1,
    \qquad x>-\frac12.    В этом случае подходит промежуток(−12,0).\left(-\frac12,0\right).
  3. 3
    Если x≥0x\ge0, то∣x+2∣−∣x∣=x+2−x=2>1.|x+2|-|x|=x+2-x=2>1.Значит, подходят все x≥0x\ge0.

    В точках −2-2 и 00 исходное выражение определено. Точка 00 входит в третий случай и удовлетворяет неравенству, поэтому объединение промежутков действительно даёт один луч.

Проверка

x∈(−12,+∞).x\in\left(-\frac12,+\infty\right).
Демидович № 27 — решение