Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 17

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 17

Определить нижнюю и верхнюю грани множества рациональных чисел

r

, удовлетворяющих неравенству

r^2<2.

Решение

Идея

Неравенство

r^2<2

равносильно условию

|r|<\sqrt2

, поэтому искомое множество лежит между

-\sqrt2

\sqrt2

. Это сразу даёт кандидатов на нижнюю и верхнюю границы. Чтобы подтвердить их точность, воспользуемся плотностью рациональных чисел и найдём элементы множества сколь угодно близко к каждому из двух концов.

1
Обозначим рассматриваемое множество через $S=\{r\in\mathbb Q:\ r^2<2\}.$
2
Из неравенства $r^2<2$ следует $|r|<\sqrt2,$ то есть $-\sqrt2<r<\sqrt2.$ Значит, $-\sqrt2$ — нижняя граница, а $\sqrt2$ — верхняя граница.
3
Покажем, что эти границы точные. Возьмём произвольное $\varepsilon>0$ и положим $\delta=\min\{\varepsilon,\sqrt2\}>0.$ По плотности рациональных чисел существует рациональное число $r_+$ такое, что $\sqrt2-\delta<r_+<\sqrt2.$ Поскольку $\delta\le\sqrt2$ , имеем $r_+>0$ , а значит, $0<r_+<\sqrt2,\qquad r_+^2<2.$ Кроме того, $r_+>\sqrt2-\varepsilon$ . Следовательно, элементы множества попадают в любую левую окрестность числа $\sqrt2$ , и потому $\sup S=\sqrt2.$
4
Для нижней грани по плотности $\mathbb Q$ выберем рациональное $r_-$ так, что $-\sqrt2<r_-<-\sqrt2+\delta.$ Из $\delta\le\sqrt2$ следует $r_-<0$ , поэтому $-\sqrt2<r_-<0,\qquad r_-^2<2.$ При этом $r_-<-\sqrt2+\varepsilon$ . Значит, элементы множества попадают в любую правую окрестность числа $-\sqrt2$ , и $\inf S=-\sqrt2.$
5
При приближении к $\pm\sqrt2$ мы использовали плотность $\mathbb Q$ в $\mathbb R$ . Сами концы в множество не входят: они иррациональны, а кроме того, в них выполнялось бы равенство $r^2=2$ вместо строгого неравенства.

Проверка

\inf S=-\sqrt2,\qquad\sup S=\sqrt2.