Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 17

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 17

Определить нижнюю и верхнюю грани множества рациональных чисел rr, удовлетворяющих неравенствуr2<2.r^2<2.

Решение

Неравенство r2<2r^2<2 ограничивает рациональные числа интервалом с иррациональными концами. Плотность рациональных чисел покажет точность границ.

Обозначим рассматриваемое множество черезS={r∈Q: r2<2}.S=\{r\in\mathbb Q:\ r^2<2\}.
Из неравенства r2<2r^2<2 следует∣r∣<2,|r|<\sqrt2,то есть−2<r<2.-\sqrt2<r<\sqrt2.Значит, −2-\sqrt2 — нижняя граница, а 2\sqrt2 — верхняя граница.
Покажем, что эти границы точные. Возьмём произвольное ε>0\varepsilon>0 и положимδ=min⁡{ε,2}>0.\delta=\min\{\varepsilon,\sqrt2\}>0.По плотности рациональных чисел существует рациональное число r+r_+ такое, что2−δ<r+<2.\sqrt2-\delta<r_+<\sqrt2.Поскольку δ≤2\delta\le\sqrt2, имеем r+>0r_+>0, а значит,0<r+<2,r+2<2.0<r_+<\sqrt2,\qquad r_+^2<2.Кроме того, r+>2−εr_+>\sqrt2-\varepsilon. Следовательно, элементы множества попадают в любую левую окрестность числа 2\sqrt2, и потомуsup⁡S=2.\sup S=\sqrt2.
Для нижней грани по плотности Q\mathbb Q выберем рациональное r−r_- так, что−2<r−<−2+δ.-\sqrt2<r_-<-\sqrt2+\delta.Из δ≤2\delta\le\sqrt2 следует r−<0r_-<0, поэтому−2<r−<0,r−2<2.-\sqrt2<r_-<0,\qquad r_-^2<2.При этом r−<−2+εr_-<-\sqrt2+\varepsilon. Значит, элементы множества попадают в любую правую окрестность числа −2-\sqrt2, иinf⁡S=−2.\inf S=-\sqrt2.
При приближении к ±2\pm\sqrt2 мы использовали плотность Q\mathbb Q в R\mathbb R. Сами концы в множество не входят: они иррациональны, а кроме того, в них выполнялось бы равенство r2=2r^2=2 вместо строгого неравенства.inf⁡S=−2,sup⁡S=2.\inf S=-\sqrt2,
\qquad
\sup S=\sqrt2.
Демидович № 17 — решение | Высшая математика — Профиматика