Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 5

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 5

Пустьa[n]=a(a−h)⋯[a−(n−1)h]иa[0]=1.a^{[n]}=a(a-h)\cdots[a-(n-1)h]\quad\text{и}\quad a^{[0]}=1.Доказать, что(a+b)[n]=∑m=0nCnma[n−m]b[m],(a+b)^{[n]}=\sum_{m=0}^{n}C_n^m a^{[n-m]}b^{[m]},где CnmC_n^m — число сочетаний из nn элементов по mm. Вывести отсюда формулу бинома Ньютона.

Доказательство

Идея

Заметим полезное свойство:
при увеличении показателя на единицу добавляется ровно один новый множитель: u[k+1]=u[k](u−kh)u^{[k+1]} = u^{[k]}(u - kh), теперь докажем нашу формулу по индукции.
  1. 1

    База индукции

    При n=0n=0 левая часть равна (a+b)[0]=1(a+b)^{[0]} = 1. Правая часть состоит из одного слагаемого C00a[0]b[0]=1⋅1⋅1=1C_0^0 a^{[0]} b^{[0]} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1. Всё сходится.
  2. 2

    Индукционный переход

    Предположим, что для номера nn формула верна:(a+b)[n]=∑m=0nCnma[n−m]b[m].(a+b)^{[n]} = \sum_{m=0}^{n} C_n^m a^{[n-m]} b^{[m]}.Рассмотрим выражение для n+1n+1. Напишем отдельно для нашего выражения последний множитель и применим индукционное предположение:(a+b)[n+1]=(a+b)[n]⋅(a+b−nh)=(∑m=0nCnma[n−m]b[m])(a+b−nh).(a+b)^{[n+1]} = (a+b)^{[n]} \cdot (a+b - nh) = \left( \sum_{m=0}^{n} C_n^m a^{[n-m]} b^{[m]} \right) (a+b - nh).Разобьём множитель (a+b−nh)(a+b - nh) на две части:a+b−nh=(a−(n−m)h)+(b−mh).a+b - nh = \bigl(a - (n-m)h\bigr) + \bigl(b - mh\bigr).Теперь внесём это выражение в сумму. Оно разобьёт её на две новые суммы:∑m=0nCnma[n−m](a−(n−m)h)b[m]+∑m=0nCnma[n−m]b[m](b−mh).\sum_{m=0}^{n} C_n^m a^{[n-m]} \bigl(a - (n-m)h\bigr) b^{[m]} \quad + \quad \sum_{m=0}^{n} C_n^m a^{[n-m]} b^{[m]} \bigl(b - mh\bigr).В первой сумме a[n−m]a^{[n-m]} превращается в a[n−m+1]a^{[n-m+1]}, а во второй b[m]b^{[m]} превращается в b[m+1]b^{[m+1]}:∑m=0nCnma[n−m+1]b[m]+∑m=0nCnma[n−m]b[m+1].\sum_{m=0}^{n} C_n^m a^{[n-m+1]} b^{[m]} \quad + \quad \sum_{m=0}^{n} C_n^m a^{[n-m]} b^{[m+1]}.Чтобы объединить эти суммы, нужно выровнять в них степени. Сделаем сдвиг индекса во второй сумме: заменим mm на k−1k-1. Тогда индекс kk будет меняться от 11 до n+1n+1, а выражение внутри станет Cnk−1a[n−(k−1)]b[k]C_n^{k-1} a^{[n-(k-1)]} b^{[k]}, что равно Cnk−1a[n−k+1]b[k]C_n^{k-1} a^{[n-k+1]} b^{[k]}. Переименовав kk обратно в mm, перепишем вторую сумму:∑m=1n+1Cnm−1a[n−m+1]b[m].\sum_{m=1}^{n+1} C_n^{m-1} a^{[n-m+1]} b^{[m]}.Теперь сложим обе суммы. При m=0m=0 слагаемое есть только в первой сумме: Cn0a[n+1]b[0]C_n^0 a^{[n+1]} b^{[0]}. При m=n+1m=n+1 слагаемое есть только во второй сумме: Cnna[0]b[n+1]C_n^n a^{[0]} b^{[n+1]}. Для всех остальных mm (от 11 до nn) мы выносим общий множитель a[n−m+1]b[m]a^{[n-m+1]} b^{[m]} за скобки, и в скобках остаётся сумма биномиальных коэффициентов Cnm+Cnm−1C_n^m + C_n^{m-1}.

    По известному свойству эта сумма равна Cn+1mC_{n+1}^m. Крайние коэффициенты Cn0C_n^0 и CnnC_n^n равны единице, поэтому их можно заменить на Cn+10C_{n+1}^0 и Cn+1n+1C_{n+1}^{n+1}. В результате все слагаемые аккуратно собираются в одну общую формулу для n+1n+1:∑m=0n+1Cn+1ma[n+1−m]b[m].\sum_{m=0}^{n+1} C_{n+1}^m a^{[n+1-m]} b^{[m]}.

Проверка

Чтобы вывести отсюда классическую формулу бинома Ньютона, достаточно подставить шаг h=0h=0. Тогда любая степень превращается в обычную x[k]=xkx^{[k]} = x^k, и мы получаем:(a+b)n=∑m=0nCnman−mbm.(a+b)^n = \sum_{m=0}^{n} C_n^m a^{n-m} b^m.(a+b)[n]=∑m=0nCnma[n−m]b[m],(a+b)n=∑m=0nCnman−mbm.(a+b)^{[n]}=\sum_{m=0}^{n}C_n^m a^{[n-m]}b^{[m]},
\qquad
(a+b)^n=\sum_{m=0}^{n}C_n^m a^{n-m}b^m.

Что и требовалось доказать