Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 5

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 5

Пустьa[n]=a(a−h)⋯[a−(n−1)h]иa[0]=1.a^{[n]}=a(a-h)\cdots[a-(n-1)h]\quad\text{и}\quad a^{[0]}=1.Доказать, что(a+b)[n]=∑m=0nCnma[n−m]b[m],(a+b)^{[n]}=\sum_{m=0}^{n}C_n^m a^{[n-m]}b^{[m]},где CnmC_n^m — число сочетаний из nn элементов по mm. Вывести отсюда формулу бинома Ньютона.

Доказательство

Индукция по nn

Для n=0n=0 обе части формулы равны 11. Предположим, что она уже верна при некотором nn. По определению(a+b)[n+1]=(a+b)[n](a+b−nh).(a+b)^{[n+1]}=(a+b)^{[n]}(a+b-nh).В слагаемом с номером mm разделим последний множитель так:a+b−nh=(a−(n−m)h)+(b−mh).a+b-nh=\bigl(a-(n-m)h\bigr)+\bigl(b-mh\bigr).После применения индукционного предположения первая скобка продолжает произведение при aa, а вторая — при bb:(a+b)[n+1]=∑m=0nCnma[n+1−m]b[m]+∑m=0nCnma[n−m]b[m+1].\begin{aligned}
(a+b)^{[n+1]}
={}&\sum_{m=0}^{n}C_n^m a^{[n+1-m]}b^{[m]}\\
&+\sum_{m=0}^{n}C_n^m a^{[n-m]}b^{[m+1]}.
\end{aligned}Заменим во второй сумме m+1m+1 на jj. Теперь при 1≤j≤n1\le j\le n коэффициент при a[n+1−j]b[j]a^{[n+1-j]}b^{[j]} равенCnj+Cnj−1=Cn+1j.C_n^j+C_n^{j-1}=C_{n+1}^j.Крайние члены, при j=0j=0 и j=n+1j=n+1, имеют коэффициент 11. Значит,(a+b)[n+1]=∑j=0n+1Cn+1ja[n+1−j]b[j].(a+b)^{[n+1]}
=\sum_{j=0}^{n+1}C_{n+1}^j a^{[n+1-j]}b^{[j]}.Переход доказан. При h=0h=0 имеем u[k]=uku^{[k]}=u^k, и формула принимает вид бинома Ньютона:(a+b)n=∑m=0nCnman−mbm.(a+b)^n=\sum_{m=0}^{n}C_n^m a^{n-m}b^m.

Что и требовалось доказать