Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 28

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 28

Решить неравенство∣∣x+1∣−∣x−1∣∣<1.\bigl||x+1|-|x-1|\bigr|<1.

Решение

Внутренняя разность модулей меняет вид при x=±1x=\pm1:
∣x+1∣−∣x−1∣={−2,x≤−1,2x,−1≤x≤1,2,x≥1.|x+1|-|x-1|=
\begin{cases}
-2,&x\le-1,\\
2x,&-1\le x\le1,\\
2,&x\ge1.
\end{cases}На внешних лучах её модуль равен 22, поэтому неравенство там неверно. В середине оно имеет вид ∣2x∣<1|2x|<1, откуда −12<x<12-\frac12<x<\frac12. Полученный промежуток целиком лежит внутри [−1,1][-1,1], так что иных ограничений нет.
Демидович № 28 — решение | Высшая математика — Профиматика