Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 28

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Решить неравенство

\bigl||x+1|-|x-1|\bigr|<1.

Решение

Идея

Внутреннее выражение сравнивает расстояния от

x

до точек

-1

1

, а внешний модуль оставляет только величину их разности. На внешних лучах эта величина постоянна, а между точками зависит от

x

. Разобьём прямую в точках

-1

1

и получим явную формулу на каждом участке.

1
Если $x\le-1$ , то $|x+1|=-(x+1),\qquad |x-1|=-(x-1),$ поэтому $|x+1|-|x-1|=-(x+1)+(x-1)=-2.$ Тогда модуль равен $2$ , неравенство не выполняется.
2
Если $-1\le x\le1$ , то $|x+1|=x+1,\qquad |x-1|=1-x.$ Следовательно, $|x+1|-|x-1|=(x+1)-(1-x)=2x.$ Неравенство принимает вид $|2x|<1.$ Отсюда $|x|<\frac12.$
3
Если $x\ge1$ , то $|x+1|-|x-1|=(x+1)-(x-1)=2,$ и снова модуль равен $2$ , что не подходит.

На внешних лучах разность расстояний постоянна по модулю и равна расстоянию между точками $-1$ и $1$ , то есть $2$ . Поэтому решения могут находиться только между этими точками.

Проверка

x\in\left(-\frac12,\frac12\right).