Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 38

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 38

С какой абсолютной погрешностью следует измерить сторону квадрата xx, где 2 м<x<3 м2\text{ м}<x<3\text{ м}, чтобы иметь возможность определить площадь этого квадрата с точностью до 0,001 м20{,}001\text{ м}^2?

Решение

Идея

Площадь равна S=x2S=x^2. При одинаковой по модулю ошибке стороны увеличение xx меняет площадь сильнее, чем уменьшение: в прирост входит дополнительный положительный член Δ2\Delta^2. Поэтому оценим именно положительное отклонение. Так как x<3x<3, для гарантии достаточно заменить xx его верхней границей 33 и решить полученное квадратное неравенство относительно Δ\Delta.
Для положительного отклонения(x+Δ)2−x2=2xΔ+Δ2.(x+\Delta)^2-x^2=2x\Delta+\Delta^2.Для отрицательного отклоненияx2−(x−Δ)2=2xΔ−Δ2,x^2-(x-\Delta)^2=2x\Delta-\Delta^2,что меньше первой величины. Поэтому достаточно потребовать2xΔ+Δ2≤0.001.2x\Delta+\Delta^2\le0.001.Так как x<3x<3, для гарантии достаточно потребовать более сильное условие6Δ+Δ2≤0.001.6\Delta+\Delta^2\le0.001.Для Δ≥0\Delta\ge0 квадратное неравенство выполняется приΔ≤−3+9.001.\Delta\le-3+\sqrt{9.001}.Точная верхняя граница допустимой погрешности равна9.001−3.\sqrt{9.001}-3.Численно получаем9.001−3≈0.000166662 м=0.166662 мм.\sqrt{9.001}-3\approx0.000166662\text{ м}
=0.166662\text{ мм}.Чтобы сохранить гарантию после округления, можно потребовать, например,Δ≤0.000166 м=0.166 мм.\Delta\le0.000166\text{ м}=0.166\text{ мм}.Член Δ2\Delta^2 мал, но он сохранён в оценке. Линеаризация ΔS≈2xΔ\Delta S\approx2x\Delta дала бы почти такое же число, однако уже не обеспечивала бы строгую гарантию требуемой точности. По той же причине десятичную границу нельзя округлять вверх: значение 0.1670.167 мм уже немного превышает точный допустимый предел.

Проверка

Δ≤9.001−3≈1.66662⋅10−4 м.\Delta\le\sqrt{9.001}-3\approx1.66662\cdot10^{-4}\text{ м}.Для гарантированной десятичной рекомендации достаточно
Δ≤0.166\Delta\le0.166 мм.
Демидович № 38 — решение | Высшая математика — Профиматика