Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 8

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать неравенство

n!<\left(\frac{n+1}{2}\right)^n\qquad\text{при }n>1.

Указание. Использовать неравенство

\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}=\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}>2\qquad(n=1,2,\ldots).

Доказательство

При

n=2

имеем

2!=2<\frac94=\bigl(\frac32\bigr)^2

Пусть при некотором

n\ge2

n!<\left(\frac{n+1}{2}\right)^n.

Умножая на

n+1>0

, получаем

(n+1)!<(n+1)\left(\frac{n+1}{2}\right)^n.

Чтобы оценить правую часть через

\left(\frac{n+2}{2}\right)^{n+1}

, сократим положительные множители. Нужное сравнение равносильно

2<\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}.

Оно дано в указании и также следует из №7 при

x=\frac{1}{n+1}

: здесь

\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}>1+(n+1)\frac{1}{n+1}=2.

Следовательно,

(n+1)!<(n+1)\left(\frac{n+1}{2}\right)^n<\left(\frac{n+2}{2}\right)^{n+1}.

Индукционный переход выполнен, поэтому неравенство верно для всех

n>1

Что и требовалось доказать