Демидович — задача 8

1. 1
   Для любого $k=1,\ldots,n$$$\left(\frac{n+1}{2}\right)^2-k(n+1-k)$$
   =\frac{(n+1-2k)^2}{4}\ge0.Поэтому$$k(n+1-k)\le\left(\frac{n+1}{2}\right)^2.$$Равенство возможно только при $2k=n+1$.
   
   Сгруппируем множители произведения $n!=1\cdot2\cdots n$ симметричными парами:$$1\cdot n,\quad 2\cdot(n-1),\quad\ldots$$Если $n$ чётно, все $\frac n2$ пар состоят из различных чисел, поэтому все полученные оценки строгие. Если $n$ нечётно, остаётся средний множитель $\frac{n+1}{2}$, который уже равен требуемому среднему, но остальные пары дают строгие оценки. Так как $n>1$, хотя бы одна строгая пара существует.
   
   Перемножая оценки, получаем$$n!<\left(\frac{n+1}{2}\right)^n.$$Указание из условия ведёт к другому доказательству — индукции по $n$. Выбранное здесь попарное сравнение также полностью доказывает неравенство и наглядно объясняет, почему в правой части возникает именно число $\frac{n+1}{2}$.$$n!<\left(\frac{n+1}{2}\right)^n\qquad(n>1).$$Альтернативно реешние с использованием неравенства
2. 2
   Докажем методом математической индукции
3. 3

   База индукции

   При $n = 2$ левая часть равна $2! = 2$, а правая часть равна $\left(\frac{2+1}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} = 2{,}25$. Неравенство $2 < 2{,}25$ верно.
   
   Переход: предположим, что для некоторого натурального $n \ge 2$ верно неравенство:$$n! < \left(\frac{n+1}{2}\right)^n.$$Докажем, что оно справедливо и для шага $n+1$, то есть $(n+1)! < \left(\frac{n+2}{2}\right)^{n+1}$.
   Умножим обе части нашего индукционного предположения на $n+1$:$$(n+1)! = n! \cdot (n+1) < \left(\frac{n+1}{2}\right)^n (n+1).$$Чтобы переход состоялся, нам достаточно показать, что полученная правая часть строго меньше правой части из требуемого неравенства для $n+1$:$$\left(\frac{n+1}{2}\right)^n (n+1) < \left(\frac{n+2}{2}\right)^{n+1}.$$Преобразуем это неравенство, чтобы понять, верно ли оно. Запишем левую часть как $\frac{(n+1)^{n+1}}{2^n}$, а правую как $\frac{(n+2)^{n+1}}{2^{n+1}}$. Умножив обе части на $2^{n+1}$ и разделив на $(n+1)^{n+1}$, мы приходим к равносильному неравенству:$$2 < \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1} = \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}.$$Полученное неравенство в точности совпадает с указанием к задаче. Поскольку равносильное неравенство истинно, истинно и исходное.

Что и требовалось доказать