Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 10

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 10

Доказать неравенства:а) 1+12+13+⋯+1n>n(n≥2);\text{а) }1+\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt n}>\sqrt n\quad(n\ge2);б) nn+1>(n+1)n(n≥3);\text{б) }n^{n+1}>(n+1)^n\quad(n\ge3);в) ∣sin⁡(∑k=1nxk)∣≤∑k=1nsin⁡xk(0≤xk≤π; k=1,2,…,n);\text{в) }\left|\sin\left(\sum_{k=1}^{n}x_k\right)\right|
\le\sum_{k=1}^{n}\sin x_k
\quad(0\le x_k\le\pi;\ k=1,2,\ldots,n);г) (2n)!<22n(n!)2.\text{г) }(2n)!<2^{2n}(n!)^2.

Опирается на

Доказательство

а) Сумма обратных корней

При 1≤k≤n1\le k\le n имеем 1k≥1n\frac1{\sqrt k}\ge\frac1{\sqrt n}, причём для k<nk<n знак строгий. Поскольку n≥2n\ge2, хотя бы одно слагаемое больше нижней оценки. Поэтому∑k=1n1k>∑k=1n1n=n.\sum_{k=1}^{n}\frac1{\sqrt k}>
\sum_{k=1}^{n}\frac1{\sqrt n}
=\sqrt n.

б) Сравнение степеней

После деления на nn>0n^n>0 достаточно доказать (1+1n)n<n\left(1+\frac1n\right)^n<n. По биному Ньютона из №5(1+1n)n=2+∑k=2n(nk)1nk.\left(1+\frac1n\right)^n
=2+\sum_{k=2}^{n}\binom nk\frac1{n^k}.При k≥2k\ge2 каждое слагаемое суммы меньше 1k!\frac1{k!}, поскольку n(n−1)⋯(n−k+1)<nkn(n-1)\cdots(n-k+1)<n^k. Кроме того, k!≥2k−1k!\ge2^{k-1}: все множители от 22 до kk не меньше 22. Следовательно,(1+1n)n<2+∑k=2n12k−1=3−12n−1<3≤n(n≥3).\left(1+\frac1n\right)^n
<2+\sum_{k=2}^{n}\frac1{2^{k-1}}
=3-\frac1{2^{n-1}}<3\le n
\qquad(n\ge3).Нужное неравенство следует умножением на nnn^n.

в) Синус суммы

Из 0≤xk≤π0\le x_k\le\pi следует sin⁡xk≥0\sin x_k\ge0. Формула сложения и неравенство треугольника дают для любых uu и таких vv∣sin⁡(u+v)∣≤∣sin⁡u∣ ∣cos⁡v∣+∣cos⁡u∣sin⁡v≤∣sin⁡u∣+sin⁡v.|\sin(u+v)|
\le |\sin u|\,|\cos v|+|\cos u|\sin v
\le|\sin u|+\sin v.Применяя оценку сначала к x1+x2x_1+x_2, затем последовательно прибавляя x3,…,xnx_3,\ldots,x_n, получаем∣sin⁡(∑k=1nxk)∣≤∑k=1nsin⁡xk.\left|\sin\left(\sum_{k=1}^{n}x_k\right)\right|
\le\sum_{k=1}^{n}\sin x_k.

г) Центральный биномиальный коэффициент

По биному Ньютона22n=∑k=02n(2nk)>(2nn)=(2n)!(n!)2.2^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}\binom{2n}{k}>
\binom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{(n!)^2}.Знак строгий, так как кроме центрального члена сумма содержит и другие положительные слагаемые. Умножение на (n!)2(n!)^2 завершает доказательство.

Что и требовалось доказать