Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 29

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Решить неравенство

|x(1-x)|<0{,}05.

Решение

Идея

Произведение

x(1-x)

симметрично относительно точки

x=\frac12

. Эту симметрию удобно сделать явной, выделив полный квадрат:

x(1-x)=\frac14-\left(x-\frac12\right)^2.

После замены

t=x-\frac12

модуль раскроется как двойное неравенство для

t^2

, а затем останется вернуться к переменной

x

1
Запишем $0.05=\frac1{20}$ и положим $t=x-\frac12.$ Тогда $x(1-x)=\frac14-t^2,$ поэтому $\left|\frac14-t^2\right|<\frac1{20}.$ Раскрываем модуль в форме двойного неравенства: $-\frac1{20}<\frac14-t^2<\frac1{20}.$
2
Из левой части получаем $t^2<\frac14+\frac1{20}=\frac3{10},$ а из правой $t^2>\frac14-\frac1{20}=\frac15.$ Таким образом, $\frac15<t^2<\frac3{10},$ или $\frac1{\sqrt5}<|t|<\sqrt{\frac3{10}}.$ Возвращаясь к $x$ , получаем два промежутка: $\frac12-\sqrt{\frac3{10}}<x<\frac12-\frac1{\sqrt5},$ $\frac12+\frac1{\sqrt5}<x<\frac12+\sqrt{\frac3{10}}.$ Точка симметрии $x=\frac12$ не подходит, поскольку в ней $|x(1-x)|=\frac14>0.05$ . Точки около $0$ и $1$ , напротив, удовлетворяют неравенству, что согласуется с двумя полученными интервалами.

Проверка

x\in\left(\frac12-\sqrt{\frac3{10}},\frac12-\frac1{\sqrt5}\right)\cup\left(\frac12+\frac1{\sqrt5},\frac12+\sqrt{\frac3{10}}\right).