Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 29

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Решить неравенство

|x(1-x)|<0{,}05.

Решение

Запишем

0{,}05=\frac1{20}

и положим

t=x-\frac12.

Тогда

x(1-x)=\frac14-t^2,

поэтому

\left|\frac14-t^2\right|<\frac1{20}.

Раскрываем модуль в форме двойного неравенства:

-\frac1{20}<\frac14-t^2<\frac1{20}.

Из левой части получаем

t^2<\frac14+\frac1{20}=\frac3{10},

а из правой

t^2>\frac14-\frac1{20}=\frac15.

Таким образом,

\frac15<t^2<\frac3{10},

или

\frac1{\sqrt5}<|t|<\sqrt{\frac3{10}}.

Возвращаясь к

x

, получаем два промежутка:

\frac12-\sqrt{\frac3{10}}<x<\frac12-\frac1{\sqrt5},

\frac12+\frac1{\sqrt5}<x<\frac12+\sqrt{\frac3{10}}.

Точка симметрии

x=\frac12

не подходит, поскольку в ней

|x(1-x)|=\frac14>0{,}05

. Точки около

0

1

, напротив, удовлетворяют неравенству, что согласуется с двумя полученными интервалами.

x\in\left(\frac12-\sqrt{\frac3{10}},\frac12-\frac1{\sqrt5}\right)\cup\left(\frac12+\frac1{\sqrt5},\frac12+\sqrt{\frac3{10}}\right).