Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 32

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 32

Определить, сколько верных знаков содержит число

x=2{,}3752,

если относительная погрешность этого числа составляет

1\%

Решение

По точной относительной ошибке восстановим две возможные абсолютные ошибки и сравним их с половинами единиц разрядов.

Пусть

a\ne0

— точное значение. Сначала определим его знак. Если бы

a<0

, то при

x=2{,}3752>0

\frac{|x-a|}{|a|}=\frac{x+|a|}{|a|}>1,

что противоречит относительной погрешности

0{,}01

. Значит,

a>0

, и из условия

\frac{|x-a|}{a}=0{,}01

получаем два случая.

Приближённое значение больше точного. Если

x-a=0{,}01a

, то

a=\frac{x}{1{,}01},\qquad|x-a|=\frac{0{,}01x}{1{,}01}\approx0.0235168.

Приближённое значение меньше точного. Если

a-x=0{,}01a

, то

a=\frac{x}{0{,}99},\qquad|x-a|=\frac{0{,}01x}{0{,}99}\approx0.0239919.

Таким образом, при любом знаке ошибки

0{,}005<|x-a|<0{,}05.

Вторая значащая цифра числа

2{,}3752

находится в разряде десятых. Половина единицы этого разряда равна

0{,}05

, и

|x-a|<0{,}05.

Следовательно, две первые значащие цифры верны.

Для трёх верных цифр требовалось бы

|x-a|\le0.005,

поскольку третья цифра стоит в разряде сотых. Но в обоих возможных случаях

|x-a|>0{,}005

, поэтому третья цифра неверна.

Для обоих знаков ошибки абсолютная погрешность меньше половины одной десятой, но больше половины одной сотой. Поэтому число верных значащих цифр установлено точно: их две, а не просто не меньше двух.

Число содержит ровно две верные значащие цифры.