Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 32

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 32

Определить, сколько верных знаков содержит число

x=2{,}3752,

если относительная погрешность этого числа составляет

1\%

Решение

Идея

В условии сказано, что относительная погрешность составляет

1\%

, то есть она равна этому числу, а не только ограничена им сверху. Приближённое значение может быть как больше, так и меньше точного, поэтому разберём оба знака ошибки. Затем сравним абсолютную погрешность с половиной единицы соответствующего десятичного разряда: так мы проверим не только верность второй цифры, но и невозможность считать верной третью.

1
Пусть $a\ne0$ — точное значение. Сначала определим его знак. Если бы $a<0$ , то при $x=2.3752>0$ $\frac{|x-a|}{|a|}=\frac{x+|a|}{|a|}>1,$ что противоречит относительной погрешности $0.01$ . Значит, $a>0$ , и из условия $\frac{|x-a|}{a}=0.01$ получаем два случая.

Приближённое значение больше точного. Если $x-a=0.01a$ , то $a=\frac{x}{1.01},\qquad|x-a|=\frac{0.01x}{1.01}\approx0.0235168.$ Приближённое значение меньше точного. Если $a-x=0.01a$ , то $a=\frac{x}{0.99},\qquad|x-a|=\frac{0.01x}{0.99}\approx0.0239919.$ Таким образом, при любом знаке ошибки $005<|x-a|<0.05.$ Вторая значащая цифра числа $2.3752$ находится в разряде десятых. Половина единицы этого разряда равна $0.05$ , и $|x-a|<0.05.$ Следовательно, две первые значащие цифры верны.
2
Для трёх верных цифр требовалось бы $|x-a|\le0.005,$ поскольку третья цифра стоит в разряде сотых. Но в обоих возможных случаях $|x-a|>0.005$ , поэтому третья цифра неверна.
3
Для обоих знаков ошибки абсолютная погрешность меньше половины одной десятой, но больше половины одной сотой. Поэтому число верных значащих цифр установлено точно: их две, а не просто не меньше двух.

Проверка

Число содержит ровно две верные значащие цифры.