Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 35

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 35

Масса тела

m=12{,}59\text{ г}\pm0{,}01\text{ г}

, а его объём

V=3{,}2\text{ см}^3\pm0{,}2\text{ см}^3

. Определить плотность тела и оценить абсолютную и относительную погрешности плотности, если за массу тела и его объём принять средние значения.

Решение

Плотность возрастает с массой и убывает с объёмом. Сначала найдём её допустимый интервал.

Из данных измерений

12{,}58\le m\le12{,}60,\qquad3{,}0\le V\le3.4.

Следовательно,

\rho_{\min}=\frac{12{,}58}{3{,}4}=3{,}7,\qquad\rho_{\max}=\frac{12{,}60}{3{,}0}=4{,}2.

Итак,

3{,}7\le\rho\le4.2\quad\left(\frac{\text{г}}{\text{см}^3}\right).

При средних значениях

\rho_0=\frac{12{,}59}{3{,}2}=3{,}934375\,\frac{\text{г}}{\text{см}^3}.

Абсолютные отклонения до концов интервала равны

3{,}934375-3{,}7=0{,}234375,

4{,}2-3{,}934375=0{,}265625.

Поэтому

\Delta\rho\le0.265625\,\frac{\text{г}}{\text{см}^3}.

Максимальная относительная ошибка определяется сравнением

\frac{0{,}234375}{3{,}7}\approx0.0633446,\qquad\frac{0{,}265625}{4{,}2}\approx0.0632440.

Следовательно,

\delta_\rho\le0.063345\approx6.3345\%.

Для частного крайние значения числителя и знаменателя сочетаются противоположным образом. Поэтому минимальная плотность получена при минимальной массе и максимальном объёме, а максимальная — при максимальной массе и минимальном объёме.

\rho_0=3{,}934375\,\frac{\text{г}}{\text{см}^3},\qquad3{,}7\le\rho\le4.2,

\Delta\rho\le0.265625\,\frac{\text{г}}{\text{см}^3},\qquad\delta_\rho\le6.3345\%.