Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 35

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 35

Масса тела

m=12{,}59\text{ г}\pm0{,}01\text{ г}

, а его объём

V=3{,}2\text{ см}^3\pm0{,}2\text{ см}^3

. Определить плотность тела и оценить абсолютную и относительную погрешности плотности, если за массу тела и его объём принять средние значения.

Решение

Идея

Плотность

\rho=\frac mV

возрастает с массой, но убывает с объёмом. Поэтому для её нижней границы нужно взять наименьшую массу и наибольший объём, а для верхней — наибольшую массу и наименьший объём. Затем сравним значение по средним данным с обоими концами полученного интервала.

1
Из данных измерений $58\le m\le12.60,\qquad0\le V\le3.4.$ Следовательно, $\rho_{\min}=\frac{12.58}{3.4}=3.7,\qquad\rho_{\max}=\frac{12.60}{3.0}=4.2.$ Итак, $7\le\rho\le4.2\quad\left(\frac{\text{г}}{\text{см}^3}\right).$
2
При средних значениях $\rho_0=\frac{12.59}{3.2}=3.934375\,\frac{\text{г}}{\text{см}^3}.$ Абсолютные отклонения до концов интервала равны $934375-3.7=0.234375,$ $2-3.934375=0.265625.$ Поэтому $\Delta\rho\le0.265625\,\frac{\text{г}}{\text{см}^3}.$ Максимальная относительная ошибка определяется сравнением $\frac{0.234375}{3.7}\approx0.0633446,\qquad\frac{0.265625}{4.2}\approx0.0632440.$ Следовательно, $\delta_\rho\le0.063345\approx6.3345\%.$
3
Для частного крайние значения числителя и знаменателя сочетаются противоположным образом. Поэтому минимальная плотность получена при минимальной массе и максимальном объёме, а максимальная — при максимальной массе и минимальном объёме.

Проверка

\rho_0=3.934375\,\frac{\text{г}}{\text{см}^3},\qquad3.7\le\rho\le4.2,

\Delta\rho\le0.265625\,\frac{\text{г}}{\text{см}^3},\qquad\delta_\rho\le6.3345\%.