Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 11

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 11

Пусть c>0c>0, причём уравнение r2=cr^2=c не имеет рациональных решений, и AB\frac{A}{B} — сечение, определяющее вещественное число c\sqrt c, где в класс BB входят все положительные рациональные числа bb такие, что b2>cb^2>c, а в класс AA — все остальные рациональные числа. Доказать, что в классе AA нет наибольшего числа, а в классе BB нет наименьшего числа.

Доказательство

Покажем, как внутри каждого класса сдвинуть его элемент в нужную сторону, сохраняя рациональность.

Уравнениеr2=cr^2=cне имеет решений среди положительных рациональных чисел rr. Тогда для любого рационального a≥0a\geq0, принадлежащего AA, равенство a2=ca^2=c невозможно. По определению класса AA остаетсяa2<c.a^2<c.Для любого b∈Bb\in B по самому определению этого классаb>0,b2>c.b>0,\qquad b^2>c.В AA нет наибольшего элемента. Пусть a∈Aa\in A.
Если a<0a<0, возьмем рациональное число a2\frac a2. Имеемa<a2<0.a<\frac a2<0.Число a2\frac a2 не является положительным рациональным числом с квадратом, большим cc, поэтому a2∈A\frac a2\in A. Значит, aa не может быть наибольшим элементом AA.

Пусть теперь a≥0a\geq0. Тогдаa2<c.a^2<c.Обозначимd=c−a2>0.d=c-a^2>0.Выберем рациональное ε>0\varepsilon>0 так, чтобыε<1,ε<d2a+1.\varepsilon<1,
\qquad
\varepsilon<\frac{d}{2a+1}.Такое рациональное ε\varepsilon существует, поскольку между 00 и любым положительным вещественным числом найдется положительное рациональное число. Тогда(a+ε)2=a2+2aε+ε2<a2+2aε+ε=a2+(2a+1)ε<a2+d=c.\begin{aligned}
(a+\varepsilon)^2
&=a^2+2a\varepsilon+\varepsilon^2\\
&<a^2+2a\varepsilon+\varepsilon\\
&=a^2+(2a+1)\varepsilon\\
&<a^2+d=c.
\end{aligned}Число a+εa+\varepsilon рационально, причемa+ε>a,(a+ε)2<c.a+\varepsilon>a,
\qquad
(a+\varepsilon)^2<c.Значит,a+ε∈A.a+\varepsilon\in A.Таким образом, для любого a∈Aa\in A найден больший элемент того же класса, поэтому в AA нет наибольшего числа.

В BB нет наименьшего элемента. Пусть b∈Bb\in B. Тогдаb>0,b2>c.b>0,\qquad b^2>c.Обозначимd=b2−c>0.d=b^2-c>0.Выберем рациональное ε>0\varepsilon>0 так, чтобыε<b,ε<d2b.\varepsilon<b,
\qquad
\varepsilon<\frac{d}{2b}.Тогда b−ε>0b-\varepsilon>0, а также(b−ε)2=b2−2bε+ε2>b2−2bε>b2−d=c.\begin{aligned}
(b-\varepsilon)^2
&=b^2-2b\varepsilon+\varepsilon^2\\
&>b^2-2b\varepsilon\\
&>b^2-d=c.
\end{aligned}Число b−εb-\varepsilon рационально, положительно и удовлетворяет(b−ε)2>c.(b-\varepsilon)^2>c.Поэтомуb−ε∈B,b−ε<b.b-\varepsilon\in B,
\qquad
b-\varepsilon<b.Для любого b∈Bb\in B найден меньший элемент того же класса, следовательно, в BB нет наименьшего числа.

Во всем доказательстве использовались только рациональные элементы классов и рациональные шаги ε\varepsilon. Число c\sqrt c не использовалось как заранее существующая граница сечения. Дополнительное условие о невозможности рационального равенства r2=cr^2=c необходимо именно для класса AA: без него рациональный корень попадает в AA и становится его наибольшим элементом.
При условии, что уравнение r2=cr^2=c не имеет положительных рациональных решений, класс AA не имеет наибольшего элемента, а класс BB не имеет наименьшего элемента. В частности, это верно для c∈Nc\in\mathbb N, не являющегося квадратом целого числа.

Что и требовалось доказать