Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 2

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Применяя метод математической индукции, доказать, что для любого натурального числа nn справедливо равенство

Задача 2

12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6.1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6.

Опирается на

Доказательство

При n=1n=1 равенство верно: 12=1⋅2⋅36=11^2=\frac{1\cdot2\cdot3}{6}=1.
Предположим, что для некоторого натурального nn
12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6.1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6.Прибавим к обеим частям (n+1)2(n+1)^2 и вынесем общий множитель:12+⋯+n2+(n+1)2=\displaystyle 1^2+\cdots+n^2+(n+1)^2\mathrel{=}n(n+1)(2n+1)6+(n+1)2=\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}6+(n+1)^2\mathrel{=}n+16(n(2n+1)+6(n+1))=\displaystyle \frac{n+1}{6}\bigl(n(2n+1)+6(n+1)\bigr)\mathrel{=}(n+1)(n+2)(2n+3)6.\displaystyle \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}6.Здесь n(2n+1)+6(n+1)=2n2+7n+6=(n+2)(2n+3)n(2n+1)+6(n+1)=2n^2+7n+6=(n+2)(2n+3).
Последняя строка есть формула из условия с n+1n+1 вместо nn; индукция завершена.

Что и требовалось доказать