Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 2

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Применяя метод математической индукции, доказать, что для любого натурального числа nn справедливо равенство

Задача 2

12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6.1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6.

Опирается на задачу 1

Доказательство

Идея

При переходе от nn к n+1n+1 к сумме квадратов добавляется ровно одно слагаемое (n+1)2(n+1)^2. Значит, снова удобно применить математическую индукцию. После подстановки индукционного предположения останется аккуратно разложить квадратный трёхчлен и получить ту же формулу с параметром n+1n+1.
  1. 1

    База индукции

    При n=1n=112=1,1⋅2⋅36=1.1^2=1,\qquad \frac{1\cdot2\cdot3}{6}=1.
  2. 2

    Индукционное предположение

    Пусть для некоторого n∈Nn\in\mathbb N12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6.1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6.
  3. 3

    Переход к $n+1$

    Тогда (первое слагаемое после знака равенства - это наше предположении индукции, ведь мы его доказали для nn )12+⋯+n2+(n+1)2=1^2+\cdots+n^2+(n+1)^2\mathrel{=}n(n+1)(2n+1)6+(n+1)2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6+(n+1)^2\mathrel{=}(n+1)(n(2n+1)6+n+1)=(n+1)\left(\frac{n(2n+1)}6+n+1\right)\mathrel{=}n+16(2n2+7n+6).\frac{n+1}{6}\bigl(2n^2+7n+6\bigr).Разложим квадратный трёхчлен:2n2+7n+6=(n+2)(2n+3).2n^2+7n+6=(n+2)(2n+3).Поэтому12+⋯+n2+(n+1)2=(n+1)(n+2)(2n+3)6.1^2+\cdots+n^2+(n+1)^2
    =\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}6.    Поскольку 2n+3=2(n+1)+12n+3=2(n+1)+1, это именно требуемая формула для числа n+1n+1.12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6.1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6.

Проверка

Осталось проверить только алгебраическое разложение, на котором держится переход:(n+2)(2n+3)=2n2+7n+6.(n+2)(2n+3)=2n^2+7n+6.Начальный случай и переход доказаны, поэтому индукция завершена.

Что и требовалось доказать