Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 18

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 18

Пусть {−x}\{-x\} — множество чисел, противоположных числам x∈{x}x\in\{x\}. Доказать, что:а) inf⁡{−x}=−sup⁡{x};б) sup⁡{−x}=−inf⁡{x}.\text{а) }\inf\{-x\}=-\sup\{x\};
\qquad
\text{б) }\sup\{-x\}=-\inf\{x\}.

Доказательство

Умножение на −1-1 меняет местами нижние и верхние оценки. Проверим не только оценку, но и её точность.

Обозначим исходное непустое множество через XX, а множество противоположных чисел через−X={−x: x∈X}.-X=\{-x:\ x\in X\}.Пункт а: конечный супремум. Пусть M=sup⁡X∈RM=\sup X\in\mathbb R. Для каждого x∈Xx\in X имеем x≤Mx\le M, поэтому−x≥−M.-x\ge-M.Следовательно, −M-M является нижней границей множества −X-X.
Проверим её точность. Для любого ε>0\varepsilon>0 по определению супремума существует xε∈Xx_\varepsilon\in X такой, чтоM−ε<xε≤M.M-\varepsilon<x_\varepsilon\le M.После умножения на −1-1 получаем−M≤−xε<−M+ε.-M\le-x_\varepsilon<-M+\varepsilon.Значит, элементы −X-X подходят к −M-M сверху сколь угодно близко, иinf⁡(−X)=−M=−sup⁡X.\inf(-X)=-M=-\sup X.Пункт а: множество XX не ограничено сверху. Если sup⁡X=+∞\sup X=+\infty, то для любого действительного числа CC можно выбрать x∈Xx\in X так, что x>−Cx>-C. Тогда −x<C-x<C. Следовательно, множество −X-X не ограничено снизу, то естьinf⁡(−X)=−∞=−sup⁡X.\inf(-X)=-\infty=-\sup X.Пункт б: конечный инфимум. Пусть m=inf⁡X∈Rm=\inf X\in\mathbb R. Для каждого x∈Xx\in X имеем m≤xm\le x, а значит,−x≤−m.-x\le-m.То есть −m-m является верхней границей множества −X-X. Для любого ε>0\varepsilon>0 существует xε∈Xx_\varepsilon\in X такой, чтоm≤xε<m+ε.m\le x_\varepsilon<m+\varepsilon.Следовательно,−m−ε<−xε≤−m.-m-\varepsilon<-x_\varepsilon\le-m.Поэтому элементы −X-X подходят к −m-m снизу сколь угодно близко иsup⁡(−X)=−m=−inf⁡X.\sup(-X)=-m=-\inf X.Пункт б: множество XX не ограничено снизу. Если inf⁡X=−∞\inf X=-\infty, то для любого действительного CC можно выбрать x∈Xx\in X так, что x<−Cx<-C. Тогда −x>C-x>C. Значит, −X-X не ограничено сверху, поэтомуsup⁡(−X)=+∞=−inf⁡X.\sup(-X)=+\infty=-\inf X.В неограниченных случаях особенно важно не потерять смену знака: например, из x<−Cx<-C следует −x>C-x>C. Поэтому обе формулы сохраняются и на расширенной числовой прямой, где грани могут принимать значения ±∞\pm\infty.
Для любого непустого X⊂RX\subset\mathbb Rinf⁡(−X)=−sup⁡X,sup⁡(−X)=−inf⁡X,\inf(-X)=-\sup X,
\qquad
\sup(-X)=-\inf X,где равенства понимаются также для значений ±∞\pm\infty.

Что и требовалось доказать