Демидович — задача 18

1. 1
   Обозначим исходное непустое множество через $X$, а множество противоположных чисел через$$-X=\{-x:\ x\in X\}.$$Пункт а: конечный супремум. Пусть $M=\sup X\in\mathbb R$. Для каждого $x\in X$ имеем $x\le M$, поэтому$$-x\ge-M.$$Следовательно, $-M$ является нижней границей множества $-X$.
2. 2
   Проверим её точность. Для любого $\varepsilon>0$ по определению супремума существует $x_\varepsilon\in X$ такой, что$$M-\varepsilon<x_\varepsilon\le M.$$После умножения на $-1$ получаем$$-M\le-x_\varepsilon<-M+\varepsilon.$$Значит, элементы $-X$ подходят к $-M$ сверху сколь угодно близко, и$$\inf(-X)=-M=-\sup X.$$Пункт а: множество $X$ не ограничено сверху. Если $\sup X=+\infty$, то для любого действительного числа $C$ можно выбрать $x\in X$ так, что $x>-C$. Тогда $-x<C$. Следовательно, множество $-X$ не ограничено снизу, то есть$$\inf(-X)=-\infty=-\sup X.$$Пункт б: конечный инфимум. Пусть $m=\inf X\in\mathbb R$. Для каждого $x\in X$ имеем $m\le x$, а значит,$$-x\le-m.$$То есть $-m$ является верхней границей множества $-X$. Для любого $\varepsilon>0$ существует $x_\varepsilon\in X$ такой, что$$m\le x_\varepsilon<m+\varepsilon.$$Следовательно,$$-m-\varepsilon<-x_\varepsilon\le-m.$$Поэтому элементы $-X$ подходят к $-m$ снизу сколь угодно близко и$$\sup(-X)=-m=-\inf X.$$Пункт б: множество $X$ не ограничено снизу. Если $\inf X=-\infty$, то для любого действительного $C$ можно выбрать $x\in X$ так, что $x<-C$. Тогда $-x>C$. Значит, $-X$ не ограничено сверху, поэтому$$\sup(-X)=+\infty=-\inf X.$$В неограниченных случаях особенно важно не потерять смену знака: например, из $x<-C$ следует $-x>C$. Поэтому обе формулы сохраняются и на расширенной числовой прямой, где грани могут принимать значения $\pm\infty$.

Что и требовалось доказать