Демидович — задача 16

1. 1
   Для любого элемента $\frac mn\in S$ имеем$$0<\frac mn<1.$$Значит, $0$ — нижняя граница, а $1$ — верхняя граница множества $S$.
2. 2
   Покажем, что $0$ является точной нижней гранью. Пусть $\varepsilon>0$. Выберем натуральное $n$ настолько большим, что$$\frac1n<\varepsilon.$$Тогда дробь $\frac1n$ принадлежит $S$ при $n>1$ и лежит между $0$ и $\varepsilon$. Поэтому никакая положительная нижняя граница невозможна. Значит,$$\inf S=0.$$
3. 3
   Теперь покажем, что $1$ — точная верхняя грань. Для любого $\varepsilon>0$ выберем $n$ так, что$$\frac1n<\varepsilon.$$Тогда$$\frac{n-1}{n}=1-\frac1n>1-\varepsilon,$$и эта дробь принадлежит $S$. Поэтому верхнюю границу нельзя опустить ниже $1$.
   
   Наименьшего элемента нет: для любой дроби $\frac mn>0$ можно выбрать натуральное $N$ так, чтобы $\frac1N<\frac mn$; при $N>1$ дробь $\frac1N$ также принадлежит $S$. Наибольшего элемента нет: между любой дробью $\frac mn<1$ и числом $1$ лежит, например, рациональное число$$\frac12\left(\frac mn+1\right).$$Дроби $\frac1n$ и $\frac{n-1}{n}$ выполняют сразу две роли: исключают крайние элементы и показывают точность найденных граней. Первая попадает в любую правую окрестность $0$, а вторая — в любую левую окрестность $1$.

Что и требовалось доказать