Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 3

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Применяя метод математической индукции, доказать, что для любого натурального числа nn справедливо равенство

Задача 3

13+23+⋯+n3=(1+2+⋯+n)2.1^3+2^3+\cdots+n^3=(1+2+\cdots+n)^2.

Опирается на

Доказательство

При n=1n=1 обе части равны 11. Допустим, что формула верна при некотором nn. По №1 сумма первых nn натуральных чисел равна n(n+1)2\frac{n(n+1)}2, поэтому предположение можно записать как
13+⋯+n3=(n(n+1)2)2.1^3+\cdots+n^3=\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2.Добавим куб следующего числа:13+⋯+n3+(n+1)3=\displaystyle 1^3+\cdots+n^3+(n+1)^3\mathrel{=}(n+1)2(n24+n+1)=\displaystyle (n+1)^2\left(\frac{n^2}{4}+n+1\right)\mathrel{=}(n+1)2(n+2)24=\displaystyle (n+1)^2\frac{(n+2)^2}{4}\mathrel{=}((n+1)(n+2)2)2.\displaystyle \left(\frac{(n+1)(n+2)}2\right)^2.Выражение в скобках равно 1+2+⋯+(n+1)1+2+\cdots+(n+1) по №1. Значит, получено требуемое равенство для n+1n+1, и оно верно при всех натуральных nn.

Что и требовалось доказать