Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 3

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Применяя метод математической индукции, доказать, что для любого натурального числа

n

справедливо равенство

Задача 3

1^3+2^3+\cdots+n^3=(1+2+\cdots+n)^2.

Опирается на задачу 1

Доказательство

Идея

В правой части стоит квадрат знакомой суммы первых натуральных чисел. В задаче 1 уже доказано

1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2.

Эта формула позволяет заменить внутреннюю сумму явным выражением и не раскрывать квадрат заново на каждом шаге. Поэтому будем доказывать индукцией равносильное равенство

1^3+2^3+\cdots+n^3=\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2.

В переходе к

n+1

добавим новый куб и выделим полный квадрат.

1
База индукции
При $n=1$ $1^3=1=\left(\frac{1\cdot2}{2}\right)^2.$
2
Индукционное предположение
Пусть $1^3+2^3+\cdots+n^3=\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2.$
3
Переход к $n+1$
Добавим $(n+1)^3$ : $1^3+\cdots+n^3+(n+1)^3\mathrel{=}$ Применяя доказанную в задаче 1 формулу к числу $n+1$ , получаем $\frac{(n+1)(n+2)}2=1+2+\cdots+(n+1).$ Следовательно, получено исходное равенство для $n+1$ .
4
Здесь используется только уже доказанная в задаче 1 формула суммы первых натуральных чисел. После её подстановки весь индукционный переход сводится к выделению полного квадрата, поэтому скрытой ссылки на новую теорию нет.

Проверка

1^3+2^3+\cdots+n^3=(1+2+\cdots+n)^2.

Что и требовалось доказать