Раздел I. Введение в анализ — § 1. Вещественные числа

Демидович — задача 25

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 25

Решить неравенство∣2x−1∣<∣x−1∣.|2x-1|<|x-1|.

Решение

Идея

Разбирать отдельно знаки выражений под модулями здесь не требуется. Обе части неотрицательны, поэтому их можно возвести в квадрат, сохранив равносильность неравенства. После сокращения одинаковых членов останется определить, где произведение двух линейных множителей отрицательно.
(2x−1)2<(x−1)2.(2x-1)^2<(x-1)^2.Раскрывая скобки, имеем4x2−4x+1<x2−2x+1,4x^2-4x+1<x^2-2x+1,то есть3x2−2x<0⟺x(3x−2)<0.3x^2-2x<0
\Longleftrightarrow
x(3x-2)<0.Корни равны 00 и 23\frac23. Произведение линейных множителей отрицательно между корнями.

Оба корня не включаются, поскольку исходное неравенство строгое.

Проверка

x∈(0,23).x\in\left(0,\frac23\right).
Демидович № 25 — решение