Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1589

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1589

Груз, лежащий на горизонтальной шероховатой плоскости, требуется сдвинуть с места приложенной силой. При каком наклоне этой силы к горизонту её значение будет наименьшим, если коэффициент трения груза равен kk?
Ответ:α=arctg⁡k\alpha=\operatorname{arctg}k вверх от горизонта; наименьшая пороговая сила Fmin⁡=kP/1+k2F_{\min}=kP/\sqrt{1+k^2}.

Решение

Пусть вес груза равен PP (где P=mgP = mg), а к нему приложена сила FF под углом α\alpha к горизонту (0≤α<π2)\left(0 \le \alpha < \frac{\pi}{2}\right).
Сила FF имеет две составляющие:
1) горизонтальную Fcos⁡αF\cos\alpha, которая стремится сдвинуть груз;
2) вертикальную Fsin⁡αF\sin\alpha, которая приподнимает груз и уменьшает силу нормального давления.
Сила нормального давления груза на плоскость:N=P−Fsin⁡αN = P - F\sin\alphaПредельная сила трения покоя пропорциональна силе нормального давления:Fтр=kN=k(P−Fsin⁡α)F_{\text{тр}} = k N = k(P - F\sin\alpha)На пороге начала движения горизонтальная составляющая силы равна предельной силе трения покоя:Fcos⁡α=k(P−Fsin⁡α)F\cos\alpha = k(P - F\sin\alpha)Раскроем скобки и выразим искомую силу FF:Fcos⁡α+kFsin⁡α=kP  ⟹  F(α)=kPcos⁡α+ksin⁡αF\cos\alpha + kF\sin\alpha = kP \implies F(\alpha) = \frac{kP}{\cos\alpha + k\sin\alpha}Для того чтобы сила F(α)F(\alpha) была наименьшей, знаменатель f(α)=cos⁡α+ksin⁡αf(\alpha) = \cos\alpha + k\sin\alpha должен достигать своего наибольшего значения. Найдём производную знаменателя:f′(α)=−sin⁡α+kcos⁡αf'(\alpha) = -\sin\alpha + k\cos\alphaПриравняем к нулю:−sin⁡α+kcos⁡α=0  ⟹  tg⁡α=k  ⟹  α=arctg⁡k-\sin\alpha + k\cos\alpha = 0 \implies \operatorname{tg}\alpha = k \implies \alpha = \operatorname{arctg} kПроверим характер экстремума (вторая производная):f′′(α)=−cos⁡α−ksin⁡α<0при α∈(0,π2)f''(\alpha) = -\cos\alpha - k\sin\alpha < 0 \quad \text{при } \alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)Так как f′′(α)<0f''(\alpha) < 0, в точке α=arctg⁡k\alpha = \operatorname{arctg} k функция f(α)f(\alpha) имеет максимум, а значит, сила F(α)F(\alpha) — минимум.
Оптимальный угол наклона силы равен α=arctg⁡k\alpha=\operatorname{arctg}k. При нёмcos⁡α=11+k2,sin⁡α=k1+k2,Fmin⁡=kP1+k2.\cos\alpha=\frac1{\sqrt{1+k^2}},\qquad
\sin\alpha=\frac{k}{\sqrt{1+k^2}},\qquad
F_{\min}=\frac{kP}{\sqrt{1+k^2}}.Проверим, что груз сохраняет контакт с плоскостью:N=P−Fmin⁡sin⁡α=P−k2P1+k2=P1+k2>0.N=P-F_{\min}\sin\alpha=P-\frac{k^2P}{1+k^2}=\frac{P}{1+k^2}>0.Получено наименьшее пороговое значение силы; для начала скольжения его нужно немного превысить. Угол arctg⁡k\operatorname{arctg}k называют углом трения.
Демидович № 1589 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика