Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1586

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

На какой высоте над центром круглого стола радиуса

a

следует поместить электрическую лампочку, чтобы освещённость края стола была наибольшей?

Указание. Освещённость выражается формулой

I=I_0\frac{\sin\varphi}{r^2},

где

\varphi

— угол наклона лучей к плоскости стола,

r

— расстояние источника света от освещаемой площадки,

I_0

— сила источника света.

Решение

Идея

Пусть

h

— высота, на которой расположена лампочка над центром стола. Радиус стола равен

a

. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой

h

, радиусом

a

и лучом света

r

, по теореме Пифагора находим расстояние от источника света до края стола:

r^2 = a^2 + h^2 \implies r = \sqrt{a^2 + h^2}

Синус угла наклона лучей к плоскости стола равен:

\sin\varphi = \frac{h}{r} = \frac{h}{\sqrt{a^2 + h^2}}

Подставим

r^2

\sin\varphi

в формулу для освещённости

I

I(h) = I_0 \frac{\frac{h}{\sqrt{a^2 + h^2}}}{a^2 + h^2} = I_0 \frac{h}{(a^2 + h^2)^{\frac{3}{2}}}

Найдём производную функции

I(h)

по переменной

h

, чтобы определить точку максимума:

I'(h) = I_0 \frac{1 \cdot (a^2 + h^2)^{\frac{3}{2}} - h \cdot \frac{3}{2}(a^2 + h^2)^{\frac{1}{2}} \cdot 2h}{(a^2 + h^2)^3}

Вынесем общий множитель

(a^2 + h^2)^{\frac{1}{2}}

в числителе и сократим дробь:

I'(h) = I_0 \frac{(a^2 + h^2) - 3h^2}{(a^2 + h^2)^{\frac{5}{2}}} = I_0 \frac{a^2 - 2h^2}{(a^2 + h^2)^{\frac{5}{2}}}

Приравняем производную к нулю:

a^2 - 2h^2 = 0 \implies h^2 = \frac{a^2}{2} \implies h = \frac{a}{\sqrt{2}}

Так как при

h < \frac{a}{\sqrt{2}}

производная

I'(h) > 0

, а при

h > \frac{a}{\sqrt{2}}

производная

I'(h) < 0

, точка

h = \frac{a}{\sqrt{2}}

является точкой максимума.

Проверка

Следовательно, наибольшая освещённость края стола достигается при высоте лампочки

h = \frac{a}{\sqrt{2}}