Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1568

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

В полушар радиуса

R

вписать прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием наибольшего объёма.

Ответ:Сторона квадратного основания

2R/\sqrt3

, высота

R/\sqrt3

;

V_{\max}=4R^3/(3\sqrt3)

Решение

Пусть основание параллелепипеда, лежащее в экваториальной плоскости полушара, представляет собой квадрат со стороной

a

. Высоту параллелепипеда обозначим через

h

.
Диагональ квадратного основания равна

a\sqrt{2}

, а расстояние от центра основания до его вершины равно

\frac{a\sqrt{2}}{2}

.
Так как верхние вершины параллелепипеда лежат на сфере, по теореме Пифагора имеем

\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 + h^2 = R^2 \implies \frac{a^2}{2} + h^2 = R^2 \implies a^2 = 2(R^2 - h^2)

Объём параллелепипеда равен

V(h) = a^2 h = 2(R^2 - h^2)h = 2R^2 h - 2h^3

Найдём производную функции объёма

V'(h) = 2R^2 - 6h^2

Приравняем к нулю

2R^2 - 6h^2 = 0 \implies h^2 = \frac{R^2}{3} \implies h = \frac{R}{\sqrt{3}}

Вторая производная

V''(h) = -12h < 0

, поэтому в точке

h = \frac{R}{\sqrt{3}}

достигается локальный максимум.
Найдём сторону основания

a

a^2 = 2\left(R^2 - \frac{R^2}{3}\right) = \frac{4R^2}{3} \implies a = \frac{2R}{\sqrt{3}}

Проверка

Для невырожденного параллелепипеда

0<h<R

. Производная

V'=2(R^2-3h^2)

положительна до

R/\sqrt3

и отрицательна после, так что максимум абсолютный. Его объём

V_{\max}=(4R^2/3)(R/\sqrt3)=4R^3/(3\sqrt3)

. При выбранной высоте квадрат наибольшей площади вписан в круг сечения и имеет тот же центр: его диагональ равна диаметру этого круга.