Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1567

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Из круглого бревна диаметра

d

вытёсывается балка с прямоугольным поперечным сечением, основание которого равно

b

и высота

h

. При каких размерах балка будет иметь наибольшую прочность, если прочность её пропорциональна

bh^2

Ответ:

b=d/\sqrt3

h=d\sqrt{2/3}

; максимальная прочность

2kd^3/(3\sqrt3)

Решение

Прямоугольное поперечное сечение вписано в окружность диаметра

d

, поэтому по теореме Пифагора выполняется связь

b^2 + h^2 = d^2 \implies h^2 = d^2 - b^2

Прочность балки

S

выражается функцией

S(b) = kb(d^2 - b^2) = k(d^2 b - b^3)

где

k

— коэффициент пропорциональности (

k > 0

).
Найдём первую производную функции

S'(b) = k(d^2 - 3b^2)

Приравняем производную к нулю для нахождения экстремума

d^2 - 3b^2 = 0 \implies b^2 = \frac{d^2}{3} \implies b = \frac{d}{\sqrt{3}}

Найдём вторую производную

S''(b) = -6kb

Поскольку при

b = \frac{d}{\sqrt{3}}

вторая производная

S'' < 0

, в этой точке достигается максимум прочности.
Найдём высоту

h

h^2 = d^2 - \frac{d^2}{3} = \frac{2d^2}{3} \implies h = d\sqrt{\frac{2}{3}}

Искомые размеры сечения балки

b = \frac{d}{\sqrt{3}}, \quad h = d\sqrt{\frac{2}{3}}

Проверка

Допустимо

0<b<d

. Знак

S'=k(d^2-3b^2)

положителен до

d/\sqrt3

и отрицателен после, поэтому найден не только локальный, но и абсолютный максимум. Его величина равна

k(d/\sqrt3)(2d^2/3)=2kd^3/(3\sqrt3)