Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1584

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

В точках

A

B

находятся источники света соответственно силой

S_1

S_2

кандел. На отрезке

AB=a

найти наименее освещённую точку

M

Решение

Идея

Пусть

x

— расстояние от точки

A

до искомой точки

M

. Тогда расстояние от точки

M

до точки

B

равно

a - x

. Освещённость точки от источника света обратно пропорциональна квадрату расстояния до него.
Суммарная освещённость точки

M

равна

E(x) = \frac{S_1}{x^2} + \frac{S_2}{(a - x)^2}

Для нахождения минимума освещённости продифференцируем функцию

E(x)

E'(x) = -\frac{2S_1}{x^3} - \frac{2S_2}{(a - x)^3}(-1) = -\frac{2S_1}{x^3} + \frac{2S_2}{(a - x)^3}

Приравняем производную к нулю

\frac{S_1}{x^3} = \frac{S_2}{(a - x)^3} \implies \left(\frac{a - x}{x}\right)^3 = \frac{S_2}{S_1} \implies \frac{a - x}{x} = \frac{\sqrt[3]{S_2}}{\sqrt[3]{S_1}}

Из этого соотношения выразим

x

a\sqrt[3]{S_1} - x\sqrt[3]{S_1} = x\sqrt[3]{S_2} \implies x(\sqrt[3]{S_1} + \sqrt[3]{S_2}) = a\sqrt[3]{S_1}

x = \frac{a\sqrt[3]{S_1}}{\sqrt[3]{S_1} + \sqrt[3]{S_2}}

Так как при приближении к источникам света (при

x \to 0

x \to a

) освещённость

E(x) \to +\infty

, найденная точка

x

является точкой минимума.