Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1584

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1584

В точках

A

B

находятся источники света соответственно силой

S_1

S_2

кандел. На отрезке

AB=a

найти наименее освещённую точку

M

Ответ:

AM=\dfrac{a\sqrt[3]{S_1}}{\sqrt[3]{S_1}+\sqrt[3]{S_2}}

MB=\dfrac{a\sqrt[3]{S_2}}{\sqrt[3]{S_1}+\sqrt[3]{S_2}}

Решение

Пусть

x

— расстояние от точки

A

до искомой точки

M

. Тогда расстояние от точки

M

до точки

B

равно

a - x

. Освещённость точки от источника света обратно пропорциональна квадрату расстояния до него.
Суммарная освещённость точки

M

равна

E(x) = \frac{S_1}{x^2} + \frac{S_2}{(a - x)^2}

Для нахождения минимума освещённости продифференцируем функцию

E(x)

E'(x) = -\frac{2S_1}{x^3} - \frac{2S_2}{(a - x)^3}(-1) = -\frac{2S_1}{x^3} + \frac{2S_2}{(a - x)^3}

Приравняем производную к нулю

\frac{S_1}{x^3} = \frac{S_2}{(a - x)^3} \implies \left(\frac{a - x}{x}\right)^3 = \frac{S_2}{S_1} \implies \frac{a - x}{x} = \frac{\sqrt[3]{S_2}}{\sqrt[3]{S_1}}

Из этого соотношения выразим

x

a\sqrt[3]{S_1} - x\sqrt[3]{S_1} = x\sqrt[3]{S_2} \implies x(\sqrt[3]{S_1} + \sqrt[3]{S_2}) = a\sqrt[3]{S_1}

x = \frac{a\sqrt[3]{S_1}}{\sqrt[3]{S_1} + \sqrt[3]{S_2}}

Здесь

a,S_1,S_2>0

0<x<a

. На всём этом промежутке

E''(x)=\frac{6S_1}{x^4}+\frac{6S_2}{(a-x)^4}>0.

Поэтому

E'

строго возрастает: слева от найденного нуля она отрицательна, справа положительна. Полученная точка даёт наименьшую освещённость на всём отрезке между источниками. Если обозначить

p=\sqrt[3]{S_1}

q=\sqrt[3]{S_2}

, то

x=ap/(p+q)

a-x=aq/(p+q)

. Подстановка даёт

E_{\min}=\frac{p^3(p+q)^2}{a^2p^2}+\frac{q^3(p+q)^2}{a^2q^2}=\frac{(p+q)^3}{a^2}.