Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1585

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Светящаяся точка находится на линии центров двух непересекающихся шаров радиусов

R

r

(R>r)

и расположена вне этих шаров. При каком положении точки сумма освещённых частей поверхности шаров будет наибольшая?

Решение

Идея

Обозначим расстояние между центрами шаров через

L

. Разместим светящуюся точку

P

между шарами.
Пусть

x

— расстояние от точки

P

до центра шара радиуса

R

. Тогда расстояние до центра шара радиуса

r

будет равно

L - x

.
Площадь освещённой части (сферического сегмента) первого шара

S_1(x) = 2\pi R^2 \left(1 - \frac{R}{x}\right)

Площадь освещённой части второго шара

S_2(x) = 2\pi r^2 \left(1 - \frac{r}{L - x}\right)

Сумма освещённых площадей

S(x) = 2\pi R^2 \left(1 - \frac{R}{x}\right) + 2\pi r^2 \left(1 - \frac{r}{L - x}\right)

Для максимизации суммарной площади найдём её производную

S'(x) = 2\pi R^2 \left(\frac{R}{x^2}\right) - 2\pi r^2 \left(\frac{r}{(L - x)^2}\right) = 2\pi \left(\frac{R^3}{x^2} - \frac{r^3}{(L - x)^2}\right)

Приравняем производную к нулю

\frac{R^3}{x^2} = \frac{r^3}{(L - x)^2} \implies \left(\frac{L - x}{x}\right)^2 = \frac{r^3}{R^3} \implies \frac{L - x}{x} = \frac{r^{\frac{3}{2}}}{R^{\frac{3}{2}}}

Выразим

x

L R^{\frac{3}{2}} - x R^{\frac{3}{2}} = x r^{\frac{3}{2}} \implies x(R^{\frac{3}{2}} + r^{\frac{3}{2}}) = L R^{\frac{3}{2}}

x = \frac{L R^{\frac{3}{2}}}{R^{\frac{3}{2}} + r^{\frac{3}{2}}}

Вторая производная строго отрицательна, что подтверждает максимум площади при данном

x

. Светящаяся точка должна находиться на расстоянии

x

от центра большего шара.