Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1585

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1585

Светящаяся точка находится на линии центров двух непересекающихся шаров радиусов RR и rr (R>r)(R>r) и расположена вне этих шаров. При каком положении точки сумма освещённых частей поверхности шаров будет наибольшая?
Ответ:Для непрозрачных шаров положимLc=(R3/2+r3/2)2R(R−R2−r2),L>R+r.L_c=\frac{(R^{3/2}+r^{3/2})^2}{R(R-\sqrt{R^2-r^2})},
\qquad L>R+r.Если L≥LcL\ge L_c, источник находится между шарами на расстоянииx∗=LR3/2R3/2+r3/2x_* =\frac{LR^{3/2}}{R^{3/2}+r^{3/2}}от центра большего шара. Если L<LcL<L_c, максимума при конечном положении источника нет, аsup⁡S=2π(r2+RR2−r2).\sup S=2\pi\bigl(r^2+R\sqrt{R^2-r^2}\bigr).К этой грани приближаются при неограниченном удалении источника со стороны меньшего шара.

Решение

Считаем шары непрозрачными: если луч сначала встречает один шар, он не освещает другой. Источник может находиться на любом из трёх свободных промежутков линии центров. Поэтому сначала найдём лучшее положение между шарами, а затем сравним его с внешними положениями.

Обозначим расстояние между центрами через L>R+rL>R+r.

Площадь, освещённая на одном шаре. Пусть радиус шара равен qq, а расстояние от его центра до источника равно d>qd>q. Граничный луч касается шара в точке TT. Из прямоугольного треугольника, образованного источником, центром и точкой касания, проекция радиуса на направление к источнику равна q2/dq^2/d. Освещена сферическая шапочка высоты q−q2/dq-q^2/d. Её площадь равнаSq(d)=2πq2(1−qd).S_q(d)=2\pi q^2\left(1-\frac qd\right).Здесь использована формула площади сферической шапочки S=2πqhS=2\pi qh. При удалении источника площадь стремится к площади полусферы 2πq22\pi q^2, но при конечном dd меньше неё.

Источник между шарами. Пусть xx — расстояние до центра большего шара. ТогдаR<x<L−r.R<x<L-r.Шары не заслоняют друг друга, поэтомуS(x)=2π(R2+r2−R3x−r3L−x).S(x)=2\pi\left(R^2+r^2-\frac{R^3}{x}-\frac{r^3}{L-x}\right).Обозначим A=R3/2+r3/2A=R^{3/2}+r^{3/2}. Производные равныS′(x)=2π(R3x2−r3(L−x)2),S′′(x)=−4π(R3x3+r3(L−x)3)<0.S'(x)=2\pi\left(\frac{R^3}{x^2}-\frac{r^3}{(L-x)^2}\right),
\qquad
S''(x)=-4\pi\left(\frac{R^3}{x^3}+\frac{r^3}{(L-x)^3}\right)<0.Следовательно, S′S' строго убывает. Единственное решение уравнения S′(x)=0S'(x)=0 имеет видx∗=LR3/2A,L−x∗=Lr3/2A.x_* =\frac{LR^{3/2}}A,
\qquad
L-x_* =\frac{Lr^{3/2}}A.Первое расстояние больше RR, поскольку L>R+rL>R+r. Второе больше rr тогда и только тогда, когдаL>L0:=Ar=r+RR/r.L>L_0:=\frac A{\sqrt r}=r+R\sqrt{R/r}.При L>L0L>L_0 точка допустима; производная меняет в ней знак с плюса на минус. Наибольшая площадь среди положений между шарами равнаM=2π(R2+r2−A2L).M=2\pi\left(R^2+r^2-\frac{A^2}{L}\right).Если R+r<L≤L0R+r<L\le L_0, функция SS строго возрастает на всём допустимом промежутке. Её верхняя грань2πR2(1−RL−r)<2πR22\pi R^2\left(1-\frac{R}{L-r}\right)<2\pi R^2получается при приближении источника к меньшему шару. Она не достигается, поскольку источник должен находиться строго вне шаров.
Источник с внешней стороны большего шара. Больший шар полностью заслоняет меньший. Действительно, любой луч к меньшему шару пересекает плоскость через центр большего шара в точке, удалённой от оси менее чем на r<Rr<R, то есть проходит через больший шар. Поэтому суммарная освещённая площадь в таком положении меньше 2πR22\pi R^2.

Источник с внешней стороны меньшего шара. Меньший шар освещён непосредственно, а на большем возникает тень. Оценим освещённую площадь большего шара без вычисления точной границы тени.

На большем шаре введём координату zz вдоль оси, направленной от его центра к источнику; расстояние точки поверхности от оси обозначим через ρ\rho. Тогдаρ2+z2=R2.\rho^2+z^2=R^2.Освещаться может только обращённая к источнику часть с z>0z>0. Вся её шапочка с ρ≤r\rho\le r, то есть сz≥R2−r2,z\ge\sqrt{R^2-r^2},закрыта меньшим шаром. В самом деле, луч от источника к такой точке пересекает плоскость через центр меньшего шара на ещё меньшем расстоянии от оси, чем ρ≤r\rho\le r, и попадает внутрь этого шара.

Таким образом, освещённая часть большего шара содержится в сферическом поясе0<z<R2−r2.0<z<\sqrt{R^2-r^2}.Площадь этого пояса равна 2πRR2−r22\pi R\sqrt{R^2-r^2}. Добавляя площадь освещённой части меньшего шара, получаем строгую оценкуS<H:=2π(r2+RR2−r2).S<H:=2\pi\left(r^2+R\sqrt{R^2-r^2}\right).При удалении источника в бесконечность с этой стороны лучи приближаются к параллельным. Освещённая часть меньшего шара стремится к полусфере; граница его тени на большем шаре стремится к окружности ρ=r\rho=r, а граница видимой полусферы — к z=0z=0. Поэтому S→HS\to H. Значит, HH — точная верхняя грань для внешних положений с этой стороны, причём при конечном положении источника она не достигается.

Заметим также, чтоH>2πR2,H>2\pi R^2,поскольку R2−r2>(R2−r2)/R\sqrt{R^2-r^2}>(R^2-r^2)/R. Следовательно, внешние положения со стороны большего шара не дают глобального максимума.

Сравнение всех положений. Если L≤L0L\le L_0, все площади между шарами меньше 2πR2<H2\pi R^2<H; наибольшей площади нет, а общая верхняя грань равна HH.
При L>L0L>L_0 остаётся сравнить MM и HH:M≥H⟺L≥Lc:=(R3/2+r3/2)2R(R−R2−r2).M\ge H
\quad\Longleftrightarrow\quad
L\ge L_c:=\frac{(R^{3/2}+r^{3/2})^2}{R\left(R-\sqrt{R^2-r^2}\right)}.Порог LcL_c больше L0L_0. Для проверки достаточно заметить, чтоR(R−R2−r2)<r2,A2r2>Ar=L0.R\left(R-\sqrt{R^2-r^2}\right)<r^2,
\qquad
\frac{A^2}{r^2}>\frac A{\sqrt r}=L_0.Итак, при L≥LcL\ge L_c наибольшая площадь достигается в единственной точке между шарами, для которойxL−x=(Rr)3/2.\frac{x}{L-x}=\left(\frac Rr\right)^{3/2}.При R+r<L<LcR+r<L<L_c наибольшей площади при конечном положении источника нет. Её точная верхняя грань равна HH и получается при неограниченном удалении источника с внешней стороны меньшего шара.

Если источник по дополнительному условию разрешено помещать только между шарами, ответ определяется первым разбором: внутренний максимум существует при L>L0L>L_0 и достигается в той же точке x∗x_*. Ограничение «между шарами» существенно: без него одного исследования S(x)S(x) на (R,L−r)(R,L-r) недостаточно.
Демидович № 1585 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика