Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1579

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1579

Поперечное сечение открытого канала имеет форму равнобедренной трапеции. При каком наклоне φ\varphi боков «мокрый периметр» сечения будет наименьшим, если площадь «живого сечения» воды в канале равна SS, а уровень воды равен hh?

Решение

Идея

Пусть bb — ширина нижнего основания (дна канала). Угол φ\varphi — угол между боковой стороной и нижним основанием.
Ширина верхнего основания (уровня воды) будет равна b+2hctg⁡φb + 2h\operatorname{ctg}\varphi.
Площадь живого сечения выражается как площадь трапеции

Проверка

S=b+(b+2hctg⁡φ)2h=(b+hctg⁡φ)h  ⟹  b=Sh−hctg⁡φS = \frac{b + (b + 2h\operatorname{ctg}\varphi)}{2}h = (b + h\operatorname{ctg}\varphi)h \implies b = \frac{S}{h} - h\operatorname{ctg}\varphiМокрый периметр состоит из нижнего основания и двух боковых сторон (длина каждой hsin⁡φ\frac{h}{\sin\varphi})P(φ)=b+2hsin⁡φP(\varphi) = b + \frac{2h}{\sin\varphi}Подставим выражение для дна канала bbP(φ)=Sh−hctg⁡φ+2hsin⁡φ=Sh+h(2−cos⁡φsin⁡φ)P(\varphi) = \frac{S}{h} - h\operatorname{ctg}\varphi + \frac{2h}{\sin\varphi} = \frac{S}{h} + h \left( \frac{2 - \cos\varphi}{\sin\varphi} \right)Для нахождения минимума продифференцируем функцию по φ\varphiP′(φ)=hsin⁡φ(sin⁡φ)−(2−cos⁡φ)cos⁡φsin⁡2φ=hsin⁡2φ+cos⁡2φ−2cos⁡φsin⁡2φ=h1−2cos⁡φsin⁡2φP'(\varphi) = h \frac{\sin\varphi(\sin\varphi) - (2 - \cos\varphi)\cos\varphi}{\sin^2\varphi} = h \frac{\sin^2\varphi + \cos^2\varphi - 2\cos\varphi}{\sin^2\varphi} = h \frac{1 - 2\cos\varphi}{\sin^2\varphi}Приравняем производную к нулю1−2cos⁡φ=0  ⟹  cos⁡φ=12  ⟹  φ=π3=60∘1 - 2\cos\varphi = 0 \implies \cos\varphi = \frac{1}{2} \implies \varphi = \frac{\pi}{3} = 60^\circПри φ<π3\varphi < \frac{\pi}{3} производная отрицательна, а при φ>π3\varphi > \frac{\pi}{3} положительна. Следовательно, это точка строгого минимума.
Наименьший мокрый периметр будет при наклоне боков φ=60∘\varphi = 60^\circ.
Демидович № 1579 — решение