Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1572

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти наибольший объём конуса с данной образующей

l

Ответ:

H=l/\sqrt3

R=l\sqrt{2/3}

;

V_{\max}=2\pi l^3/(9\sqrt3)

Решение

Пусть

R

— радиус основания конуса, а

H

— его высота. По теореме Пифагора для образующей

l

выполняется соотношение

R^2 + H^2 = l^2 \implies R^2 = l^2 - H^2

Объём конуса как функция его высоты задаётся формулой

V(H) = \frac{1}{3}\pi R^2H = \frac{1}{3}\pi (l^2 - H^2)H = \frac{\pi}{3}(l^2H - H^3)

Найдём производную объёма

V'(H) = \frac{\pi}{3}(l^2 - 3H^2)

Приравняем производную к нулю (учитывая, что

H > 0

)

l^2 - 3H^2 = 0 \implies H = \frac{l}{\sqrt{3}}

Найдём вторую производную

V''(H) = \frac{\pi}{3}(-6H) = -2\pi H

Поскольку при

H > 0

вторая производная отрицательна, в найденной точке достигается максимум объёма.
Вычислим радиус основания

R

R^2 = l^2 - \left(\frac{l}{\sqrt{3}}\right)^2 = l^2 - \frac{l^2}{3} = \frac{2l^2}{3} \implies R = l\sqrt{\frac{2}{3}}

Найдём наибольший объём конуса

V_{\max} = \frac{\pi}{3} \left(\frac{2l^2}{3}\right) \left(\frac{l}{\sqrt{3}}\right) = \frac{2\pi l^3}{9\sqrt{3}} = \frac{2\pi\sqrt{3}}{27}l^3

Проверка

Для невырожденного конуса

0<H<l

. На всём интервале до

l/\sqrt3

производная

V'>0

, после него

V'<0

. Поэтому найденная точка даёт абсолютный максимум; высоты

0

l

соответствуют вырождению и объёму

0