Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1556

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1556

Доказать, что если функция

f(x)

неотрицательна, то функция

F(x)=Cf^2(x)\qquad(C>0)

имеет в точности те же точки экстремума, что и функция

f(x)

Доказано:Точки максимумов и минимумов совпадают, включая строгие экстремумы.

Доказательство

Пусть точка

x_0

является точкой локального максимума функции

f(x)

. Тогда существует такая окрестность точки

x_0

, что для всех

x

из этой окрестности выполняется неравенство

f(x) \le f(x_0)

Поскольку по условию функция

f(x)

неотрицательна, возведение в квадрат обеих частей неравенства сохраняет его знак

f^2(x) \le f^2(x_0)

Умножив обе части на положительную константу

C

, получим

Cf^2(x) \le Cf^2(x_0) \implies F(x) \le F(x_0)

Это означает, что

x_0

является точкой локального максимума и для функции

F(x)

.
Докажем обратное: если

x_0

— точка локального максимума

F(x)

, то

F(x) \le F(x_0)

в некоторой окрестности. Тогда

Cf^2(x) \le Cf^2(x_0) \implies f^2(x) \le f^2(x_0)

Извлекая квадратный корень из обеих частей (что корректно в силу неотрицательности

f(x)

), получаем

f(x) \le f(x_0)

, то есть

x_0

— точка локального максимума

f(x)

Для минимума используем цепочку равносильных неравенств:

f(x)\geqslant f(x_0)\Longleftrightarrow f(x)^2\geqslant f(x_0)^2\Longleftrightarrow F(x)\geqslant F(x_0)

. Она верна благодаря неотрицательности значений

f

и условию

C>0

. Поэтому в одной и той же окрестности минимум одной функции является минимумом другой. Итак, совпадают и точки максимумов, и точки минимумов; при строгих неравенствах совпадают также строгие экстремумы.

Что и требовалось доказать