Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1560

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1560

В каких системах логарифмов существуют числа, равные своему логарифму?

Решение

Идея

Обозначим основание логарифма через bb, причём по определению логарифма b>0b > 0 и b≠1b \ne 1. Нам требуется найти такие значения bb, при которых уравнение

Проверка

log⁡bx=x\log_b x = xимеет хотя бы один действительный корень x>0x > 0. Перепишем уравнение, используя определение логарифмаbx=x  ⟹  b=x1xb^x = x \implies b = x^{\frac{1}{x}}Таким образом, задача сводится к нахождению множества значений функции f(x)=x1xf(x) = x^{\frac{1}{x}} при x>0x > 0.
Найдём её производную, используя логарифмическое дифференцированиеln⁡f(x)=ln⁡xx  ⟹  f′(x)f(x)=1−ln⁡xx2  ⟹  f′(x)=x1x1−ln⁡xx2\ln f(x) = \frac{\ln x}{x} \implies \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1 - \ln x}{x^2} \implies f'(x) = x^{\frac{1}{x}} \frac{1 - \ln x}{x^2}Производная обращается в нуль в точке x=ex = e.
При 0<x<e0 < x < e производная положительна, функция возрастает.
При x>ex > e производная отрицательна, функция убывает.
Следовательно, в точке x=ex = e функция f(x)f(x) достигает своего наибольшего значенияfmax⁡=f(e)=e1ef_{\max} = f(e) = e^{\frac{1}{e}}Исследуем пределы на границах области определенияlim⁡x→0+x1x=0\lim_{x \to 0+} x^{\frac{1}{x}} = 0lim⁡x→+∞x1x=1\lim_{x \to +\infty} x^{\frac{1}{x}} = 1В силу непрерывности, функция f(x)f(x) принимает все значения из интервала (0,e1/e](0, e^{1/e}].
Поскольку основание логарифма bb не может быть равно 11, искомые значения bb удовлетворяют условию 0<b≤e1/e0 < b \le e^{1/e} при b≠1b \ne 1.
Следовательно, числа, равные своему логарифму, существуют в системах с основаниемb∈(0,1)∪(1,e1e]b \in (0, 1) \cup \left(1, e^{\frac{1}{e}}\right]
Демидович № 1560 — решение