Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1560

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

В каких системах логарифмов существуют числа, равные своему логарифму?

Ответ:

0<b<1

или

1<b\leqslant e^{1/e}

Решение

Обозначим основание логарифма через

b

, причём по определению логарифма

b > 0

b \ne 1

. Нам требуется найти такие значения

b

, при которых уравнение

\log_b x = x

имеет хотя бы один действительный корень

x > 0

. Перепишем уравнение, используя определение логарифма

b^x = x \implies b = x^{\frac{1}{x}}

Таким образом, задача сводится к нахождению множества значений функции

f(x) = x^{\frac{1}{x}}

при

x > 0

.
Найдём её производную, используя логарифмическое дифференцирование

\ln f(x) = \frac{\ln x}{x} \implies \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1 - \ln x}{x^2} \implies f'(x) = x^{\frac{1}{x}} \frac{1 - \ln x}{x^2}

Производная обращается в нуль в точке

x = e

.
При

0 < x < e

производная положительна, функция возрастает.
При

x > e

производная отрицательна, функция убывает.
Следовательно, в точке

x = e

функция

f(x)

достигает своего наибольшего значения

f_{\max} = f(e) = e^{\frac{1}{e}}

Исследуем пределы на границах области определения

\lim_{x \to 0+} x^{\frac{1}{x}} = 0

\lim_{x \to +\infty} x^{\frac{1}{x}} = 1

В силу непрерывности, функция

f(x)

принимает все значения из интервала

(0, e^{1/e}]

.
Поскольку основание логарифма

b

не может быть равно

1

, искомые значения

b

удовлетворяют условию

0 < b \le e^{1/e}

при

b \ne 1

.
Следовательно, числа, равные своему логарифму, существуют в системах с основанием

b \in (0, 1) \cup \left(1, e^{\frac{1}{e}}\right]