Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1571

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Около данного шара описать конус наименьшего объёма.

Решение

Идея

Пусть

r

— радиус данного шара,

R

— радиус основания описанного конуса, а

H

— его высота.
Рассмотрим осевое сечение конуса, которое представляет собой равнобедренный треугольник с основанием

2R

и высотой

H

. В этот треугольник вписана окружность радиуса

r

.
Площадь этого треугольника можно выразить двумя способами: через основание и высоту, а также через полупериметр и радиус вписанной окружности

S = \frac{1}{2} \cdot 2R \cdot H = RH

Полупериметр сечения равен

p = R + \sqrt{R^2 + H^2}

. Тогда

S = pr = r(R + \sqrt{R^2 + H^2})

Приравняем оба выражения для площади

RH = r(R + \sqrt{R^2 + H^2})

RH - rR = r\sqrt{R^2 + H^2}

Возведём обе части в квадрат

R^2(H - r)^2 = r^2(R^2 + H^2)

R^2(H^2 - 2Hr + r^2) = r^2R^2 + r^2H^2

R^2H^2 - 2R^2Hr = r^2H^2

Так как

H > 2r

(высота конуса больше диаметра вписанного шара), разделим обе части на

H

R^2H - 2R^2r = r^2H \implies R^2(H - 2r) = r^2H \implies R^2 = \frac{r^2H}{H - 2r}

Объём конуса выражается формулой

V(H) = \frac{1}{3}\pi R^2H = \frac{1}{3}\pi \frac{r^2H^2}{H - 2r}

Найдём производную объёма по

H

V'(H) = \frac{\pi r^2}{3} \frac{2H(H - 2r) - H^2 \cdot 1}{(H - 2r)^2} = \frac{\pi r^2}{3} \frac{H^2 - 4Hr}{(H - 2r)^2}

Приравняем производную к нулю для нахождения критической точки

H^2 - 4Hr = 0 \implies H = 4r

При

2r < H < 4r

производная

V'(H) < 0

, а при

H > 4r

производная

V'(H) > 0

. Значит,

H = 4r

— точка минимума.
Найдём соответствующий радиус основания конуса

R = \sqrt{\frac{r^2(4r)}{4r - 2r}} = \sqrt{2r^2} = r\sqrt{2}

Искомый конус имеет высоту

H = 4r

и радиус основания

R = r\sqrt{2}

. Его наименьший объём равен

V_{\min} = \frac{1}{3}\pi (2r^2)(4r) = \frac{8}{3}\pi r^3