Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1571

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1571

Около данного шара описать конус наименьшего объёма.
Ответ:При радиусе шара rr: H=4rH=4r, R=r2R=r\sqrt2, Vmin⁡=8πr3/3V_{\min}=8\pi r^3/3.

Решение

Пусть rr — радиус данного шара, RR — радиус основания описанного конуса, а HH — его высота.
Рассмотрим осевое сечение конуса, которое представляет собой равнобедренный треугольник с основанием 2R2R и высотой HH. В этот треугольник вписана окружность радиуса rr.
Площадь этого треугольника можно выразить двумя способами: через основание и высоту, а также через полупериметр и радиус вписанной окружности
S=12⋅2R⋅H=RHS = \frac{1}{2} \cdot 2R \cdot H = RHПолупериметр сечения равен p=R+R2+H2p = R + \sqrt{R^2 + H^2}. ТогдаS=pr=r(R+R2+H2)S = pr = r(R + \sqrt{R^2 + H^2})Приравняем оба выражения для площадиRH=r(R+R2+H2)RH = r(R + \sqrt{R^2 + H^2})RH−rR=rR2+H2RH - rR = r\sqrt{R^2 + H^2}Возведём обе части в квадратR2(H−r)2=r2(R2+H2)R^2(H - r)^2 = r^2(R^2 + H^2)R2(H2−2Hr+r2)=r2R2+r2H2R^2(H^2 - 2Hr + r^2) = r^2R^2 + r^2H^2R2H2−2R2Hr=r2H2R^2H^2 - 2R^2Hr = r^2H^2Так как H>2rH > 2r (высота конуса больше диаметра вписанного шара), разделим обе части на HHR2H−2R2r=r2H  ⟹  R2(H−2r)=r2H  ⟹  R2=r2HH−2rR^2H - 2R^2r = r^2H \implies R^2(H - 2r) = r^2H \implies R^2 = \frac{r^2H}{H - 2r}Объём конуса выражается формулойV(H)=13πR2H=13πr2H2H−2rV(H) = \frac{1}{3}\pi R^2H = \frac{1}{3}\pi \frac{r^2H^2}{H - 2r}Найдём производную объёма по HHV′(H)=πr232H(H−2r)−H2⋅1(H−2r)2=πr23H2−4Hr(H−2r)2V'(H) = \frac{\pi r^2}{3} \frac{2H(H - 2r) - H^2 \cdot 1}{(H - 2r)^2} = \frac{\pi r^2}{3} \frac{H^2 - 4Hr}{(H - 2r)^2}Приравняем производную к нулю для нахождения критической точкиH2−4Hr=0  ⟹  H=4rH^2 - 4Hr = 0 \implies H = 4rПри 2r<H<4r2r < H < 4r производная V′(H)<0V'(H) < 0, а при H>4rH > 4r производная V′(H)>0V'(H) > 0. Значит, H=4rH = 4r — точка минимума.
Найдём соответствующий радиус основания конусаR=r2(4r)4r−2r=2r2=r2R = \sqrt{\frac{r^2(4r)}{4r - 2r}} = \sqrt{2r^2} = r\sqrt{2}Искомый конус имеет высоту H=4rH = 4r и радиус основания R=r2R = r\sqrt{2}. Его наименьший объём равенVmin⁡=13π(2r2)(4r)=83πr3V_{\min} = \frac{1}{3}\pi (2r^2)(4r) = \frac{8}{3}\pi r^3

Проверка

При H>2rH>2r обе стороны равенства R(H−r)=rR2+H2R(H-r)=r\sqrt{R^2+H^2} положительны. Поэтому возведение в квадрат обратимо, и найденная зависимость R2=r2H/(H−2r)R^2=r^2H/(H-2r) задаёт именно конусы с требуемым вписанным шаром. Производная имеет один знак на каждом из двух интервалов, разделённых 4r4r, поэтому найденный минимум абсолютный.
Демидович № 1571 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика