Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1580

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1580

Извилистостью замкнутого контура, ограничивающего площадь

S

, называется отношение периметра этого контура к длине окружности, ограничивающей круг той же площади

S

.

Какова форма равнобедренной трапеции

ABCD

(AD\parallel BC)

, обладающей наименьшей извилистостью, если основание

AD=2a

и острый угол

BAD=\alpha

Ответ:Трапеция должна быть описана около окружности. При

t=\tan(\alpha/2)

h=2at

BC=2at^2

AB=CD=a(1+t^2)

. Минимальная извилистость

2/\sqrt{\pi\sin\alpha}

Решение

Пусть

S

— площадь трапеции, а

P

— её периметр. Длина окружности, ограничивающей площадь

S

, равна

L = 2\sqrt{\pi S}

.
Извилистость контура

k = \frac{P}{2\sqrt{\pi S}}

. Для минимизации извилистости необходимо минимизировать величину

\frac{P^2}{S}

.
Обозначим высоту трапеции через

h

. Тогда её боковая сторона

AB = CD = \frac{h}{\sin\alpha}

.
Верхнее основание равно

BC = AD - 2h\operatorname{ctg}\alpha = 2a - 2h\operatorname{ctg}\alpha

.
Выразим периметр трапеции

P(h) = AD + BC + 2AB = 2a + 2a - 2h\operatorname{ctg}\alpha + \frac{2h}{\sin\alpha} = 4a + 2h \left( \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha} \right) = 4a + 2h\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}

Выразим площадь трапеции

S(h) = \frac{AD + BC}{2}h = \frac{4a - 2h\operatorname{ctg}\alpha}{2}h = 2ah - h^2\operatorname{ctg}\alpha

Составим функцию, которую будем минимизировать

f(h) = \frac{P^2}{S} = \frac{4\left(2a + h\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\right)^2}{2ah - h^2\operatorname{ctg}\alpha}

Найдём производную функции и приравняем её числитель к нулю

2\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}(2ah - h^2\operatorname{ctg}\alpha) - \left(2a + h\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\right)(2a - 2h\operatorname{ctg}\alpha) = 0

Раскроем скобки

4ah\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} - 2h^2\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\operatorname{ctg}\alpha = 4a^2 - 4ah\operatorname{ctg}\alpha + 2ah\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} - 2h^2\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\operatorname{ctg}\alpha

Члены с

h^2

взаимно уничтожаются. Приведём подобные слагаемые

2ah\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} + 4ah\operatorname{ctg}\alpha = 4a^2 \implies h\left(\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} + 2\operatorname{ctg}\alpha\right) = 2a

Воспользуемся тригонометрическим тождеством

2\operatorname{ctg}\alpha = \operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2} - \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}

h\left(\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} + \operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2} - \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\right) = 2a \implies h\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2} = 2a \implies h = 2a\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}

Проверим геометрический смысл полученного условия. Найдём сумму оснований и сумму боковых сторон:
Сумма оснований

AD + BC = 4a - 2\left(2a\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\right)\operatorname{ctg}\alpha = 4a - 4a\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} \left( \frac{1 - \operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2}}{2\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}} \right) = 4a - 2a\left(1 - \operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2}\right) = 2a\left(1 + \operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{2a}{\cos^2\frac{\alpha}{2}}

Сумма боковых сторон

AB + CD = \frac{2h}{\sin\alpha} = \frac{4a\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}}{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}} = \frac{2a}{\cos^2\frac{\alpha}{2}}

Таким образом,

AD + BC = AB + CD

. Это означает, что суммы противоположных сторон равны.
Трапеция с наименьшей извилистостью должна быть описанной около окружности.

Проверка

Пусть

t=\tan(\alpha/2)

c=\cot\alpha

. Так как угол острый,

t,c>0

. Невырожденная трапеция требует

0<h<a/c

, чтобы

BC=2a-2hc>0

. Для

D=2ah-ch^2>0

полная производная исследуемой функции равна

f'(h)=\frac{4(2a+ht)[2tD-(2a+ht)(2a-2ch)]}{D^2}=\frac{8a(2a+ht)[h(t+2c)-2a]}{D^2}.

Все вынесенные множители положительны. Поскольку

t+2c=1/t

, знак определяется

h-2at

. Найденная высота

h_0=2at

допустима:

2tc=1-t^2<1

, то есть

h_0<a/c

. До неё

f

убывает, после возрастает; минимум абсолютный.

Докажем касание окружности непосредственно. Возьмём центр на оси симметрии на высоте

h/2

. Расстояния до оснований равны

h/2

. Расстояние до каждой боковой прямой равно

a\sin\alpha-(h/2)\cos\alpha

. При

h=2a\tan(\alpha/2)=2a\sin\alpha/(1+\cos\alpha)

это расстояние также равно

h/2

. Круг радиуса

h/2

поэтому лежит внутри трапеции и касается всех четырёх сторон. Это обосновывает заключение об описанной трапеции.

Её размеры можно записать через

t

h=2at

BC=2at^2

AB=CD=a(1+t^2)

. Тогда

P=4a(1+t^2)

S=2a^2t(1+t^2)

, и минимальная извилистость

k_{\min}^2=\frac{P^2}{4\pi S}=\frac{2(1+t^2)}{\pi t}=\frac4{\pi\sin\alpha},\qquad k_{\min}=\frac2{\sqrt{\pi\sin\alpha}}.