Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1580

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1580

Извилистостью замкнутого контура, ограничивающего площадь SS, называется отношение периметра этого контура к длине окружности, ограничивающей круг той же площади SS.

Какова форма равнобедренной трапеции ABCDABCD (AD∥BC)(AD\parallel BC), обладающей наименьшей извилистостью, если основание AD=2aAD=2a и острый угол BAD=αBAD=\alpha?

Решение

Идея

Пусть SS — площадь трапеции, а PP — её периметр. Длина окружности, ограничивающей площадь SS, равна L=2πSL = 2\sqrt{\pi S}.
Извилистость контура k=P2πSk = \frac{P}{2\sqrt{\pi S}}. Для минимизации извилистости необходимо минимизировать величину P2S\frac{P^2}{S}.
Обозначим высоту трапеции через hh. Тогда её боковая сторона AB=CD=hsin⁡αAB = CD = \frac{h}{\sin\alpha}.
Верхнее основание равно BC=AD−2hctg⁡α=2a−2hctg⁡αBC = AD - 2h\operatorname{ctg}\alpha = 2a - 2h\operatorname{ctg}\alpha.
Выразим периметр трапеции

Проверка

P(h)=AD+BC+2AB=2a+2a−2hctg⁡α+2hsin⁡α=4a+2h(1−cos⁡αsin⁡α)=4a+2htg⁡α2P(h) = AD + BC + 2AB = 2a + 2a - 2h\operatorname{ctg}\alpha + \frac{2h}{\sin\alpha} = 4a + 2h \left( \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha} \right) = 4a + 2h\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}Выразим площадь трапецииS(h)=AD+BC2h=4a−2hctg⁡α2h=2ah−h2ctg⁡αS(h) = \frac{AD + BC}{2}h = \frac{4a - 2h\operatorname{ctg}\alpha}{2}h = 2ah - h^2\operatorname{ctg}\alphaСоставим функцию, которую будем минимизироватьf(h)=P2S=4(2a+htg⁡α2)22ah−h2ctg⁡αf(h) = \frac{P^2}{S} = \frac{4\left(2a + h\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\right)^2}{2ah - h^2\operatorname{ctg}\alpha}Найдём производную функции и приравняем её числитель к нулю2tg⁡α2(2ah−h2ctg⁡α)−(2a+htg⁡α2)(2a−2hctg⁡α)=02\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}(2ah - h^2\operatorname{ctg}\alpha) - \left(2a + h\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\right)(2a - 2h\operatorname{ctg}\alpha) = 0Раскроем скобки4ahtg⁡α2−2h2tg⁡α2ctg⁡α=4a2−4ahctg⁡α+2ahtg⁡α2−2h2tg⁡α2ctg⁡α4ah\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} - 2h^2\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\operatorname{ctg}\alpha = 4a^2 - 4ah\operatorname{ctg}\alpha + 2ah\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} - 2h^2\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\operatorname{ctg}\alphaЧлены с h2h^2 взаимно уничтожаются. Приведём подобные слагаемые2ahtg⁡α2+4ahctg⁡α=4a2  ⟹  h(tg⁡α2+2ctg⁡α)=2a2ah\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} + 4ah\operatorname{ctg}\alpha = 4a^2 \implies h\left(\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} + 2\operatorname{ctg}\alpha\right) = 2aВоспользуемся тригонометрическим тождеством 2ctg⁡α=ctg⁡α2−tg⁡α22\operatorname{ctg}\alpha = \operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2} - \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}h(tg⁡α2+ctg⁡α2−tg⁡α2)=2a  ⟹  hctg⁡α2=2a  ⟹  h=2atg⁡α2h\left(\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} + \operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2} - \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\right) = 2a \implies h\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2} = 2a \implies h = 2a\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}Проверим геометрический смысл полученного условия. Найдём сумму оснований и сумму боковых сторон:
Сумма основанийAD+BC=4a−2(2atg⁡α2)ctg⁡α=4a−4atg⁡α2(1−tg⁡2α22tg⁡α2)=4a−2a(1−tg⁡2α2)=2a(1+tg⁡2α2)=2acos⁡2α2AD + BC = 4a - 2\left(2a\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}\right)\operatorname{ctg}\alpha = 4a - 4a\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} \left( \frac{1 - \operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2}}{2\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}} \right) = 4a - 2a\left(1 - \operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2}\right) = 2a\left(1 + \operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{2a}{\cos^2\frac{\alpha}{2}}Сумма боковых сторонAB+CD=2hsin⁡α=4atg⁡α22sin⁡α2cos⁡α2=2acos⁡2α2AB + CD = \frac{2h}{\sin\alpha} = \frac{4a\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}}{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}} = \frac{2a}{\cos^2\frac{\alpha}{2}}Таким образом, AD+BC=AB+CDAD + BC = AB + CD. Это означает, что суммы противоположных сторон равны.
Трапеция с наименьшей извилистостью должна быть описанной около окружности.
Демидович № 1580 — решение