Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1583

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1583

Два корабля плывут с постоянными скоростями uu и vv по прямым линиям, составляющим угол θ\theta между собой. Определить наименьшее расстояние между кораблями, если расстояния их от точки пересечения путей в некоторый момент были соответственно равны aa и bb.

Решение

Идея

Обозначим расстояния от кораблей до точки пересечения путей в момент времени tt как x1(t)x_1(t) и x2(t)x_2(t). Будем считать, что они движутся к точке пересечения
x1(t)=a−utx2(t)=b−vtx_1(t) = a - ut \qquad x_2(t) = b - vtПо теореме косинусов квадрат расстояния между кораблями равенD2(t)=(a−ut)2+(b−vt)2−2(a−ut)(b−vt)cos⁡θD^2(t) = (a - ut)^2 + (b - vt)^2 - 2(a - ut)(b - vt)\cos\thetaДля нахождения минимума расстояния продифференцируем функцию по tt и приравняем к нулю12(D2)′=(a−ut)(−u)+(b−vt)(−v)−[−u(b−vt)−v(a−ut)]cos⁡θ=0\frac{1}{2}(D^2)' = (a - ut)(-u) + (b - vt)(-v) - \left[ -u(b - vt) - v(a - ut) \right]\cos\theta = 0Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые при tt−au+u2t−bv+v2t+(ub+va−2uvt)cos⁡θ=0-au + u^2 t - bv + v^2 t + (ub + va - 2uvt)\cos\theta = 0t(u2+v2−2uvcos⁡θ)=au+bv−(ub+va)cos⁡θt(u^2 + v^2 - 2uv\cos\theta) = au + bv - (ub + va)\cos\thetaНайдём время tt, при котором расстояние минимальноt=au+bv−(ub+va)cos⁡θu2+v2−2uvcos⁡θt = \frac{au + bv - (ub + va)\cos\theta}{u^2 + v^2 - 2uv\cos\theta}Подставим найденное время tt обратно в выражение для D2(t)D^2(t). После алгебраических преобразований полный квадрат расстояния примет видDmin⁡2=(ub−va)2sin⁡2θu2+v2−2uvcos⁡θD_{\min}^2 = \frac{(ub - va)^2 \sin^2\theta}{u^2 + v^2 - 2uv\cos\theta}Извлекая корень, получим наименьшее расстояниеDmin⁡=∣ub−va∣sin⁡θu2+v2−2uvcos⁡θD_{\min} = \frac{|ub - va|\sin\theta}{\sqrt{u^2 + v^2 - 2uv\cos\theta}}
Демидович № 1583 — решение