Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1583

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1583

Два корабля плывут с постоянными скоростями uu и vv по прямым линиям, составляющим угол θ\theta между собой. Определить наименьшее расстояние между кораблями, если расстояния их от точки пересечения путей в некоторый момент были соответственно равны aa и bb.
Ответ:При движении обоих кораблей к пересечению путей: Dmin⁡=∣av−bu∣sin⁡θ/u2+v2−2uvcos⁡θD_{\min}=|av-bu|\sin\theta/\sqrt{u^2+v^2-2uv\cos\theta}, если момент сближения допустим. Для t≥0t\ge0 берём tmin⁡=max⁡{0,t∗}t_{\min}=\max\{0,t_*\}; при нулевой относительной скорости расстояние постоянно. Направления движения и угол между начальными лучами должны быть заданы.

Решение

Обозначим точку пересечения путей через OO, а данный момент примем за t=0t=0. Направления движения существенны: одинаковые расстояния a,ba,b и одинаковые модули скоростей u,vu,v ещё не определяют, сближаются корабли или удаляются.

Выберем на каждом пути положительное направление от OO к начальному положению соответствующего корабля. Пусть угол между этими лучами равен θ\theta, а скорости с учётом знака равны s1,s2s_1,s_2: при движении к OO это −u,−v-u,-v, при движении от OO — u,vu,v. Тогдаx1(t)=a+s1t,x2(t)=b+s2t.x_1(t)=a+s_1t,\qquad x_2(t)=b+s_2t.Это координаты, которые могут стать отрицательными после прохождения OO, а не расстояния до OO. Положим c=cos⁡θc=\cos\theta. По теореме косинусов, или через скалярное произведение направляющих векторов,D2(t)=(a+s1t)2+(b+s2t)2−2(a+s1t)(b+s2t)c=At2+2Bt+C,D^2(t)=(a+s_1t)^2+(b+s_2t)^2-2(a+s_1t)(b+s_2t)c=At^2+2Bt+C,где коэффициенты получаются раскрытием скобок:A=s12+s22−2s1s2c,B=as1+bs2−(as2+bs1)c,C=a2+b2−2abc.\begin{aligned}
A&=s_1^2+s_2^2-2s_1s_2c,\\
B&=as_1+bs_2-(as_2+bs_1)c,\\
C&=a^2+b^2-2abc.
\end{aligned}Величина AA есть квадрат относительной скорости. При A>0A>0 выделим полный квадрат:D2(t)=A(t+BA)2+C−B2A.D^2(t)=A\left(t+\frac BA\right)^2+C-\frac{B^2}{A}.Следовательно, если рассматривается всё время движения, ближайшее сближение происходит при t∗=−B/At_*=-B/A.

Вычислим остаток AC−B2AC-B^2 без пропуска преобразований. Его коэффициент при c0c^0 равен(s12+s22)(a2+b2)−(as1+bs2)2=(as2−bs1)2.(s_1^2+s_2^2)(a^2+b^2)-(as_1+bs_2)^2=(as_2-bs_1)^2.Коэффициент при cc равен нулю, поскольку(as1+bs2)(as2+bs1)=ab(s12+s22)+s1s2(a2+b2).(as_1+bs_2)(as_2+bs_1)=ab(s_1^2+s_2^2)+s_1s_2(a^2+b^2).Коэффициент при c2c^2 равен4abs1s2−(as2+bs1)2=−(as2−bs1)2.4abs_1s_2-(as_2+bs_1)^2=-(as_2-bs_1)^2.ПоэтомуAC−B2=(as2−bs1)2(1−c2),Dmin⁡=∣as2−bs1∣sin⁡θA,0≤θ≤π.AC-B^2=(as_2-bs_1)^2(1-c^2),\qquad
D_{\min}=\frac{|as_2-bs_1|\sin\theta}{\sqrt A},\quad 0\le\theta\le\pi.Если оба корабля в начальный момент направлены к OO, подставляем s1=−us_1=-u, s2=−vs_2=-v:Dmin⁡=∣av−bu∣sin⁡θu2+v2−2uvcos⁡θ,t∗=au+bv−(av+bu)cos⁡θu2+v2−2uvcos⁡θ.\boxed{D_{\min}=\frac{|av-bu|\sin\theta}{\sqrt{u^2+v^2-2uv\cos\theta}}},\qquad
t_* =\frac{au+bv-(av+bu)\cos\theta}{u^2+v^2-2uv\cos\theta}.Если требуется наименьшее расстояние только после данного момента, нужно дополнительно учесть t≥0t\ge0. При t∗≥0t_*\ge0 ответ тот же; при t∗<0t_*<0 сближение уже произошло, и минимум на [0,+∞)[0,+\infty) равен начальному расстоянию C\sqrt C. Иными словами, tmin⁡=max⁡{0,−B/A}t_{\min}=\max\{0,-B/A\}.

Наконец, при A=0A=0 векторы скоростей совпадают. Относительное положение кораблей постоянно, поэтому D(t)=CD(t)=\sqrt C для всех tt.
Демидович № 1583 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика