Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1558

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1558

Определить наибольшее значение произведения mm-й и nn-й степеней (m>0,n>0)(m>0,n>0) двух положительных чисел, сумма которых постоянна и равна aa.
Ответ:Pmax⁡=am+nmmnn/(m+n)m+nP_{\max}=a^{m+n}m^mn^n/(m+n)^{m+n} при x=ma/(m+n)x=ma/(m+n), y=na/(m+n)y=na/(m+n).

Решение

Пусть одно из положительных чисел равно xx, тогда второе число равно a−xa-x, где x∈(0,a)x \in (0, a). Произведение их mm-й и nn-й степеней выражается функцией
P(x)=xm(a−x)nP(x) = x^m(a-x)^nНайдём её производную, используя правило дифференцирования произведенияP′(x)=mxm−1(a−x)n−nxm(a−x)n−1=xm−1(a−x)n−1[m(a−x)−nx]P'(x) = mx^{m-1}(a-x)^n - nx^m(a-x)^{n-1} = x^{m-1}(a-x)^{n-1}[m(a-x) - nx]В интервале (0,a)(0, a) производная обращается в нуль в точке, где выражение в квадратных скобках равно нулюma−mx−nx=0  ⟹  x0=mam+nma - mx - nx = 0 \implies x_0 = \frac{ma}{m+n}При 0<x<x00 < x < x_0 выражение ma−(m+n)x>0ma - (m+n)x > 0, поэтому P′(x)>0P'(x) > 0
При x0<x<ax_0 < x < a выражение ma−(m+n)x<0ma - (m+n)x < 0, поэтому P′(x)<0P'(x) < 0
Поскольку производная меняет знак с плюса на минус, в точке x0x_0 функция достигает своего наибольшего значения. Второе число при этом равноa−x0=a−mam+n=nam+na - x_0 = a - \frac{ma}{m+n} = \frac{na}{m+n}Вычислим наибольшее значение произведенияPmax⁡=P(x0)=(mam+n)m(nam+n)n=mmnn(m+n)m+nam+nP_{\max} = P(x_0) = \left(\frac{ma}{m+n}\right)^m \left(\frac{na}{m+n}\right)^n = \frac{m^m n^n}{(m+n)^{m+n}} a^{m+n}

Проверка

Сумма положительных чисел aa положительна, и допустим весь интервал 0<x<a0<x<a. На нём множитель xm−1(a−x)n−1x^{m-1}(a-x)^{n-1} положителен даже при m<1m<1 или n<1n<1. Производная положительна на всей части до x0x_0 и отрицательна на всей части после x0x_0, поэтому найденный максимум абсолютный.
Демидович № 1558 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика