Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1562

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1562

Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади, если сумма катета и гипотенузы его постоянна.
Ответ:Катеты a/3a/3 и a/3a/\sqrt3, гипотенуза 2a/32a/3; углы 30∘,60∘,90∘30^\circ,60^\circ,90^\circ. Максимальная площадь a2/(63)a^2/(6\sqrt3).

Решение

Обозначим катет через xx, а гипотенузу через cc. По условию их сумма является константой aa
x+c=a  ⟹  c=a−xx + c = a \implies c = a - xПо теореме Пифагора второй катет yy равенy=c2−x2=(a−x)2−x2=a2−2axy = \sqrt{c^2 - x^2} = \sqrt{(a-x)^2 - x^2} = \sqrt{a^2 - 2ax}Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения катетовS(x)=12xy=12xa2−2axS(x) = \frac{1}{2}xy = \frac{1}{2}x\sqrt{a^2 - 2ax}Найдём первую производную площади по xxS′(x)=12a2−2ax+12x−2a2a2−2ax=12(a2−2ax−axa2−2ax)S'(x) = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 - 2ax} + \frac{1}{2}x \frac{-2a}{2\sqrt{a^2 - 2ax}} = \frac{1}{2} \left( \sqrt{a^2 - 2ax} - \frac{ax}{\sqrt{a^2 - 2ax}} \right)Приведём выражение в скобках к общему знаменателюS′(x)=a2−2ax−ax2a2−2ax=a(a−3x)2a2−2axS'(x) = \frac{a^2 - 2ax - ax}{2\sqrt{a^2 - 2ax}} = \frac{a(a - 3x)}{2\sqrt{a^2 - 2ax}}Приравняем производную к нулю. Знаменатель всегда положителен для существующих невырожденных треугольниковa−3x=0  ⟹  x=a3a - 3x = 0 \implies x = \frac{a}{3}При 0<x<a30 < x < \frac{a}{3} числитель положителен (S′>0S' > 0), площадь возрастает.
При a3<x<a2\frac{a}{3} < x < \frac{a}{2} числитель отрицателен (S′<0S' < 0), площадь убывает.
Следовательно, в точке x=a3x = \frac{a}{3} площадь треугольника максимальна.
Найдём гипотенузу ccc=a−a3=2a3c = a - \frac{a}{3} = \frac{2a}{3}Угол α\alpha, прилежащий к катету xx, можно найти из отношенияcos⁡α=xc=a32a3=12  ⟹  α=π3=60∘\cos\alpha = \frac{x}{c} = \frac{\frac{a}{3}}{\frac{2a}{3}} = \frac{1}{2} \implies \alpha = \frac{\pi}{3} = 60^\circИскомый треугольник имеет углы 30∘30^\circ, 60∘60^\circ и 90∘90^\circ, а его стороны равны x=a3x = \frac{a}{3}, y=a3y = \frac{a}{\sqrt{3}} и c=2a3c = \frac{2a}{3}

Проверка

Для невырожденного треугольника необходимы a>0a>0, x>0x>0 и c=a−x>xc=a-x>x, то есть 0<x<a/20<x<a/2. Найденная точка a/3a/3 лежит внутри этого интервала. Второй катет вычисляется как y=a2−2a(a/3)=a/3y=\sqrt{a^2-2a(a/3)}=a/\sqrt3. Максимальная площадь равна Smax⁡=(1/2)(a/3)(a/3)=a2/(63)S_{\max}=(1/2)(a/3)(a/\sqrt3)=a^2/(6\sqrt3).
Демидович № 1562 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика