Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1562

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади, если сумма катета и гипотенузы его постоянна.

Решение

Идея

Обозначим катет через

x

, а гипотенузу через

c

. По условию их сумма является константой

a

Проверка

x + c = a \implies c = a - x

По теореме Пифагора второй катет

y

равен

y = \sqrt{c^2 - x^2} = \sqrt{(a-x)^2 - x^2} = \sqrt{a^2 - 2ax}

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения катетов

S(x) = \frac{1}{2}xy = \frac{1}{2}x\sqrt{a^2 - 2ax}

Найдём первую производную площади по

x

S'(x) = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 - 2ax} + \frac{1}{2}x \frac{-2a}{2\sqrt{a^2 - 2ax}} = \frac{1}{2} \left( \sqrt{a^2 - 2ax} - \frac{ax}{\sqrt{a^2 - 2ax}} \right)

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю

S'(x) = \frac{a^2 - 2ax - ax}{2\sqrt{a^2 - 2ax}} = \frac{a(a - 3x)}{2\sqrt{a^2 - 2ax}}

Приравняем производную к нулю. Знаменатель всегда положителен для существующих невырожденных треугольников

a - 3x = 0 \implies x = \frac{a}{3}

При

0 < x < \frac{a}{3}

числитель положителен (

S' > 0

), площадь возрастает.
При

\frac{a}{3} < x < \frac{a}{2}

числитель отрицателен (

S' < 0

), площадь убывает.
Следовательно, в точке

x = \frac{a}{3}

площадь треугольника максимальна.
Найдём гипотенузу

c

c = a - \frac{a}{3} = \frac{2a}{3}

Угол

\alpha

, прилежащий к катету

x

, можно найти из отношения

\cos\alpha = \frac{x}{c} = \frac{\frac{a}{3}}{\frac{2a}{3}} = \frac{1}{2} \implies \alpha = \frac{\pi}{3} = 60^\circ

Искомый треугольник имеет углы

30^\circ

60^\circ

90^\circ

, а его стороны равны

x = \frac{a}{3}

y = \frac{a}{\sqrt{3}}

c = \frac{2a}{3}