Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1561

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Из всех прямоугольников данной площади

S

определить тот, периметр которого наименьший.

Решение

Идея

Обозначим стороны прямоугольника через

x

y

. По условию площадь прямоугольника постоянна и равна

S

xy = S \implies y = \frac{S}{x}

Периметр прямоугольника является функцией одной переменной

x

P(x) = 2(x+y) = 2\left(x+\frac{S}{x}\right)

Найдём первую производную функции

P(x)

P'(x) = 2\left(1 - \frac{S}{x^2}\right)

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки (учитывая, что

x > 0

)

1 - \frac{S}{x^2} = 0 \implies x^2 = S \implies x = \sqrt{S}

Найдём вторую производную

P''(x) = 2\left(\frac{2S}{x^3}\right) = \frac{4S}{x^3}

Поскольку при

x = \sqrt{S}

вторая производная

P''(\sqrt{S}) > 0

, в этой точке функция достигает своего минимума.
Найдём вторую сторону прямоугольника

y = \frac{S}{\sqrt{S}} = \sqrt{S}

Так как

x = y = \sqrt{S}

, искомый прямоугольник является квадратом со стороной

\sqrt{S}