Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1561

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Из всех прямоугольников данной площади

S

определить тот, периметр которого наименьший.

Ответ:Квадрат со стороной

\sqrt S

;

P_{\min}=4\sqrt S

Решение

Обозначим стороны прямоугольника через

x

y

. По условию площадь прямоугольника постоянна и равна

S

xy = S \implies y = \frac{S}{x}

Периметр прямоугольника является функцией одной переменной

x

P(x) = 2(x+y) = 2\left(x+\frac{S}{x}\right)

Найдём первую производную функции

P(x)

P'(x) = 2\left(1 - \frac{S}{x^2}\right)

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки (учитывая, что

x > 0

)

1 - \frac{S}{x^2} = 0 \implies x^2 = S \implies x = \sqrt{S}

Найдём вторую производную

P''(x) = 2\left(\frac{2S}{x^3}\right) = \frac{4S}{x^3}

Поскольку при

x = \sqrt{S}

вторая производная

P''(\sqrt{S}) > 0

, в этой точке функция достигает своего минимума.
Найдём вторую сторону прямоугольника

y = \frac{S}{\sqrt{S}} = \sqrt{S}

Так как

x = y = \sqrt{S}

, искомый прямоугольник является квадратом со стороной

\sqrt{S}

Проверка

Полная область выбора —

x>0

S>0

. Для

0<x<\sqrt S

имеем

P'<0

, а для

x>\sqrt S

имеем

P'>0

. Поэтому минимум абсолютный, а не только локальный. Его значение

P_{\min}=2(\sqrt S+\sqrt S)=4\sqrt S

. Можно проверить результат тождеством

x+S/x-2\sqrt S=(x-\sqrt S)^2/x\geqslant0