Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 13. Задачи на максимум и минимум функций

Демидович — задача 1575

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1575

Найти кратчайшее и наибольшее расстояния точки A(2,0)A(2,0) от окружностиx2+y2=1x^2+y^2=1

Решение

Идея

Квадрат расстояния от произвольной точки окружности (x,y)(x, y) до точки A(2,0)A(2, 0) равен

Проверка

D2=(x−2)2+(y−0)2=(x−2)2+y2D^2 = (x - 2)^2 + (y - 0)^2 = (x - 2)^2 + y^2Так как точка лежит на окружности, выполняется условие x2+y2=1x^2 + y^2 = 1, откуда y2=1−x2y^2 = 1 - x^2. Координата xx принимает значения на отрезке [−1,1][-1, 1].
Подставим y2y^2 в выражение для квадрата расстоянияD2(x)=(x−2)2+1−x2=x2−4x+4+1−x2=5−4xD^2(x) = (x - 2)^2 + 1 - x^2 = x^2 - 4x + 4 + 1 - x^2 = 5 - 4xФункция D2(x)=5−4xD^2(x) = 5 - 4x является линейной и строго убывает на отрезке [−1,1][-1, 1].
Следовательно, своё наибольшее значение она принимает на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.
Наименьший квадрат расстояния (при x=1x = 1)Dmin⁡2=5−4(1)=1  ⟹  Dmin⁡=1D^2_{\min} = 5 - 4(1) = 1 \implies D_{\min} = 1Наибольший квадрат расстояния (при x=−1x = -1)Dmax⁡2=5−4(−1)=9  ⟹  Dmax⁡=3D^2_{\max} = 5 - 4(-1) = 9 \implies D_{\max} = 3Таким образом, кратчайшее расстояние равно 11, а наибольшее равно 33.
Демидович № 1575 — решение